Math173

已知函数 $f(x)=a x+x \ln x$ 图象在点 $x={\rm e}$ 处的切线的斜率为 $ 3$．

1、求实数 $a$ 的值．

2、若 $f(x) \leqslant k x^2$ 对任意 $x>0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

3、当 $n>m>1$（$m, n \in \mathbb N^{\ast}$）时，证明：$\dfrac{\sqrt[n]{m}}{\sqrt[m]{n}}>\dfrac{m}{n}$．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-(a+1) x+a \ln x $（$a \in \mathbb R$）．

1、若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增，对于任意的 $x_1, x_2 \in[1,4]$，且 $x_1>x_2$，不等式 $\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1^2-x_2^2}>m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=a(x+\ln x)$，$g(x)=x^2$．

1、当 $a=-2$ 时，求函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ 的单调区间．

2、当 $a>0$ 时，若对于区间 $[1,2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_1, x_2$，都有\[\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|\]成立，求实数 $a$ 的取值范围．

继续阅读 →

已知平面 $\alpha \cap \beta=l$，$B, D$ 是 $l$ 上两点，直线 $A B \subset \alpha$ 且 $A B \cap l=B$，直线 $C D \subset \beta$ 且 $C D \cap l=C$．下列结论中正确的有（       ）

A．若 $A B \perp l$，$C D \perp l$，且 $A B=C D$，则 $A B C D$ 是平行四边形

B．若 $M$ 是 $A B$ 中点，$N$ 是 $C D$ 中点，则 $M N\parallel A C$

C．若 $\alpha \perp \beta$，$A B \perp l$，$AD \perp l$，则 $C D$ 在 $\alpha$ 上的射影是 $B D$

D．直线 $A B, C D$ 所成角的大小与二面角 $\alpha-l-\beta$ 的大小相等

继续阅读 →

已知 $a \in {\mathbb{R}}$，函数 $f \left(x \right) = 2{x^3} - 3 \left(a + 1 \right){x^2} + 6ax$．

1、若 $a = 1$，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $ \left(2,f \left(2 \right) \right)$ 处的切线方程．

2、若 $ \left|a \right| > 1$，求 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $ \left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值．

继续阅读 →

在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$\angle BAD = 60^\circ $，$E$ 为 $CD$ 的中点．若 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1$，则 $AB$ 的长为_______．

继续阅读 →

设 $a \in \left[ - 2,0\right]$，已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^3} - \left(a + 5\right)x,&x \leqslant 0, \\ {x^3} - \dfrac{a + 3}{2}{x^2} + ax,&x > 0. \\ \end{cases}}$

1、证明：$f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - 1,1\right)$ 内单调递减，在区间 $\left(1, + \infty \right)$ 内单调递增．

2、设曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 ${P_i}\left({x_i},f\left({x_i}\right)\right)$（$i = 1,2,3$）处的切线相互平行，且 ${x_1}{x_2}{x_3} \ne 0$， 证明：${x_1} + {x_2} + {x_3} > - \dfrac{1}{3}$．

继续阅读 →

设函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} + x - 2$，$g\left(x\right) = \ln x + {x^2} - 3$．若实数 $a,b$ 满足 $f\left(a\right) = 0$，$g\left(b\right) = 0$，则（       ）

A．$g\left(a\right) < 0 < f\left(b\right)$

B．$f\left(b\right) < 0 < g\left(a\right)$

C．$0 < g\left(a\right) < f\left(b\right)$

D．$f\left(b\right) < g\left(a\right) < 0$

继续阅读 →

已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}\ln x$．

1、求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．

2、证明：对任意的 $t > 0$，存在唯一的 $s$，使 $t = f\left( s \right)$．

3、设 $(2)$ 中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g\left( t \right)$，证明：当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，有 $\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left( t \right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}$．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x^2-x+1$．

1、求 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $x<0$，$\dfrac{(f(x)-x^2-1)a+2x}{f(x)}\geqslant -1$，求实数 $a$ 的取值范围．

继续阅读 →