设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数．记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对
设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$，若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$，则 $n$ 的最小值为（ ）
A．$71$
B．$72$
C．$80$
D．$81$
已知实数 $x_{0} \in[0,1)$．数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有\[x_n=\begin{cases} 2x_{n-1},&x_{n-1}<\dfrac 12,\\ 2x_{n-1}-1,&x_{n-1}\geqslant\dfrac 12.\end{cases}\]现知 $x_{0}=x_{2021}$，则可能的 $x_{0}$ 的个数为（ ）
A．$2021$
B．$2^{2021}-1$
C．$2^{2021}$
D．以上答案都不对
已知 $S=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$，则 $S$ 的个位数字是（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$7$
D．以上答案都不对
若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$，则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对
已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求 $\dfrac{2\sin^4\alpha+3\cos^4\beta}{4\sin^2\alpha+5\cos^2\beta}+\dfrac{2\cos^4\alpha+3\sin^4\beta}{4\cos^2\alpha+5\sin^2\beta}$ 的最小值．
