每日一题[2434]不定方程

如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 $81$,则称 $F$ 是一个“好数”,则好数的个数为(       )

A.$48618$

B.$48619$

C.$48620$

D.以上答案都不对

答案    B.

解析    设好数 $F=\overline{x_1x_2\cdots x_{10}}$,$x_1\ne 0$,$x_i\in\{0,1,\cdots,9\}$($i=1,2,\cdots 10$)则\[x_1+x_2+\cdots +x_{10}=81,\]设 $y_i=9-a_i$,则 $y_1\ne 9$,$y_i\in\{0,1,\cdots,9\}$,且\[y_1+y_2+\cdots+y_{10}=9,\]考虑 $y_i$ 的非负整数解的个数,去掉 $y_1=9$ 的一组解,所求个数为\[\dbinom {18}9-1=48619.\]

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