每日一题[2427]构造

方程 $x^{3}+y^{4}=z^{5}$ 的正整数解 $(x, y, z)$ 的组数为(       )

A.$0$

B.$2$

C.无穷多

D.以上答案都不对

答案    C.

解析    尝试 $(x^3,y^4,z^5)=\left(2^n,2^n,2^{n+1}\right)$,即 $(x,y,z)=\left(2^{n/3},2^{n/4},2^{(n-1)/5}\right)$,只需要\[\begin{cases} n\equiv 0\pmod 3,\\ n\equiv 0\pmod 4,\\ n\equiv 4\pmod 5,\end{cases}\iff n\equiv 24\pmod{60},\]因此对应的\[(x,y,z)=\left(2^{20k+8},2^{15k+6},2^{12k+5}\right),k\in\mathbb N,\]因此所求正整数解有无穷多组.

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