每日一题[2432]兵分两路

设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$,若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$,则 $n$ 的最小值为(       )

A.$71$

B.$72$

C.$80$

D.$81$

答案    C.

解析    根据题意,有\[y_n=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1=\underbrace{11\cdot 1}_{n\text{ 个 }1}\cdot 11=\dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9},\]因此\[10^9-1\mid y_n\iff 10^9-1\mid \dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9}\iff 9(10^9-1)\mid \left(10^{n+1}-1\right).\]由于当 $a$ 是不小于 $2$ 的正整数时,有\[\left(a^m-1,a^n-1\right)=a^{(m,n)}-1,\]于是 $9\mid n+1$.设 $n+1=9k$($k\in\mathbb N^{\ast}$),则\[10^{n+1}-1=10^{9k}-1=(10^9-1)\left(10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1\right),\]考虑 $10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1$ 模 $9$ 的余数为 $k$,因此 $k$ 的最小值为 $9$,从而 $n$ 的最小值为 $80$.

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