每日一题[2433]轮换式

已知 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c$,$b=b c+a$,$c=c a+b$,则 $a+b+c=$ (       )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$3$

答案    D.

解析    若 $a=0$,则 $c=a(1-b)=0$,进而 $b=bc+a=0$,与 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数矛盾,所以 $a,b,c$ 均不为 $0$.题中三式相加,可得\[ab+bc+ca=0,\]又\[\begin{cases} c=a(1-b),\\ a=b(1-c),\\ b=c(1-a),\end{cases}\implies abc=abc(1-a)(1-b)(1-c)\implies (1-a)(1-b)(1-c)=1,\]从而\[1-(a+b+c)-(ab+bc+ca)-abc=1\iff abc=-(a+b+c),\]又\[\begin{cases} ac=abc+c^2,\\ ab=abc+a^2,\\ bc=abc+b^2,\end{cases}\implies ab+bc+ca=3abc+(a^2+b^2+c^2),\]于是\[3(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)^2,\]从而\[abc(a+b+c-3)=0\implies a+b+c=3.\]

备注    事实上,$a,b,c$ 是关于 $x$ 的方程 $x^3-3x^2+3=0$ 的三个不同实根,约为 $-0.8794,1.3473,2.5321$.

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