已知 $C_n$ 是 $\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}$ 的整数部分，求证：$C_n+1\mid 2^{n+1}$．
抛物线 $y=x^2$ 上有 $A,B$ 两点，$|AB|=2$，则 $AB$ 中点的轨迹方程为_______．
已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+2abc$ 的取值范围是_______．
已知实数 $a>0$，二次函数 $f(x)=ax^2-x+1$，若在任意长度为 $1$ 的闭区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 $1$，则 $a$ 的最小值为_______．
已知 $n$ 为偶数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均为两两不同的整数，记 $f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\cdots\left(x-a_{n}\right)+1$．
1、求证：当 $n \geqslant 6$ 时，$f(x)$ 不可用次数小于 $n$ 的两个整系数多项式的乘积表示．
2、请举例说明，当 $n=2$ 和 $n=4$ 时 第 $(1)$ 小题中结论不成立．
求和 $\left[\sqrt[3]1\right]+\left[\sqrt[3]2\right]+\cdots+\left[\sqrt[3]{2021}\right]=$ _______．
设 $f(x)$ 是 $n$（$n\geqslant 1$）次多项式，$g(x)=f(x)-f'(x)$，证明：若 $f(x)$ 的 $n$ 个根都是实数，则 $g(x)$ 的 $n$ 个根也都是实数．
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，并且对任意正整数 $m,n$ 均有\[a_{2m+n}=2a_m+a_n+2m^2+4mn,\]求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
设 $a,b,c$ 是正整数，$p$ 是素数，$p\geqslant 5$ 且 $p\mid a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}$，证明：$p\mid abc$．
设 $k$（$k\geqslant 3$）个人进行相互传球的游戏，每个拿球的人等可能的把球传给其他人中的任何一位，若初始时球在甲手中，则第 $n$ 次传球后，球又回到甲手中的概率为_______．
