每日一题[2435]分类计数

设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数,$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数.记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$,则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.以上答案都不对

答案    A.

解析    容易证明 $\sqrt{\dfrac n2}$ 的小数部分不可能为 $0.5$,因此\[a_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{\dfrac n2}<k+\dfrac 12,\]整理可得\[2k^2-2k+\dfrac 12<n<2k^2+2k+\dfrac 12\iff 2k(k-1)+1\leqslant n\leqslant 2k(k+1),\]注意到 $k=6$ 时,$2k(k+1)=84$,因此\[S_{100}=\sum_{k=1}^6\left(\dfrac 1k\cdot 4k\right)+\dfrac 17\cdot (100-84)=26\dfrac 27.\]类似的,有\[b_n=k\iff k-\dfrac 12<\sqrt{2n}<k+\dfrac 12,\]整理可得\[\dfrac{k(k-1)}2+\dfrac 18<n<\dfrac{k(k+1)}2+\dfrac 18\iff \dfrac{k(k-1)}2+1\leqslant n\leqslant \dfrac{k(k+1)}2,\]注意到 $k=13$ 时,$2k(k+1)=91$,因此\[S_{100}=\sum_{k=1}^{13}\left(\dfrac 1k\cdot k\right)+\dfrac 1{14}\cdot (100-91)=13\dfrac 9{14}.\]综上所述,有 $2T_{100}-S_{100}=1$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论