$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\dfrac1{1+\cos^2t}{ {\rm d}} t=$_______.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{(2n-k)(2n+k)}=$_______．
已知实数 $x,y$ 满足 $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$，则 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值为 _______．
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=-1$，$a_1=1$，$a_n=-6a_{n-1}-9a_{n-2}-8$，$n\geqslant 2$，则 $a_9=$ _______．
在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______．
$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______．
设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数，求证：\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]
求证：对于任意复数 $a,b,c$，存在复数 $z$ 满足 $|z|=1$，且有\[|(z-a)(z-b)(z-c)|\geqslant 1+|abc|.\]
求所有实数 $a,b$，使得在直线 $y=b$ 上满足 $|PF_1|\cdot |PF_2|=1$ 的点恰有两个，其中 $F_1(-a,0)$，$F_2(a,0)$．
设正四棱锥 $P-ABCD$ 的所有棱长均为 $2$，$E,F,G$ 分别为棱 $AD,CD,BP$ 的中点，$P-ABCD$ 被平面 $EFG$ 分成两部分，求其中包含顶点 $P$ 的部分的体积．
