如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱底面的内接四边形，$A C$ 是圆柱的底面直径，$P C$ 是圆柱的母线，$E$ 是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，$A B=A D$，$\angle B A D=60^{\circ}$．
1、记圆柱的体积为 $V_1$，四棱锥 $P-A B C D$ 的体积为 $V_2$，求 $\dfrac{V_1}{V_2}$．
2、设点 $F$ 在线段 $A P$ 上，$P A=4 P F$，$P C=4 C E$，求二面角 $F-C D-P$ 的余弦值．
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调，其中 $\omega$ 为正整数，$|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$，且 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)$．
1、求 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴．
2、若 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\varphi$．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）过点 $A\left(4 \sqrt{2}, 3\right)$，且焦距为 $10$．
1、求 $C$ 的方程．
2、已知点 $B(4 \sqrt{2},-3)$，$D(2 \sqrt{2}, 0)$，$E$ 为线段 $A B$ 上一点，且直线 $D E$ 交 $C$ 于 $G,H$ 两点．证明：$\dfrac{|G D|}{|G E|}=\dfrac{|H D|}{|H E|}$．
椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线 $C=\left\{(x, y) \mid y^2=x^3+a x+b, 4 a^3+27 b^2 \neq 0\right\} $．$P \in C$ 关于 $x$ 轴的对称点记为 $\widetilde{P}$．$C$ 在点 $P(x, y)$（$y \neq 0$）处的切线是指曲线 $y=\pm \sqrt{x^3+a x+b}$ 在点 $P$ 处的切线．定义“$\oplus$”运算满足：
① 若 $P \in C$，$Q \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点 $R$，则 $P \oplus Q=\widetilde{R}$；
② 若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，则 $P \oplus Q=\widetilde{P}$；
③ 若 $P \in C$，规定 $P \oplus \widetilde{P}=0^{\ast}$，且 $P \oplus 0^{\ast}=0^{\ast} \oplus P=P$．
1、当 $4 a^3+27 b^2=0$ 时，讨论函数 $h(x)=x^3+a x+b$ 零点的个数．
2、已知“$\oplus$”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，证明：$P \oplus P=\tilde{Q}$．
3、已知 $P\left(x_1, y_1\right) \in C$，$Q\left(x_2, y_2\right) \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标．
如图，正六边形 $A B C D E F$ 边长为 $2$、其内部有一个边长为 $1$ 的正方形 $P Q M N$，边 $P Q$ 在正六边形边 $A B$ 上，点 $P$ 与点 $A$ 重合．正方形 $P Q M N$ 沿正六边形 $AB,BC$ 边转动，当点 $P$ 与点 $PC$ 重合时，点 $P$ 形成的轨迹的长度为_______．
已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 与直线 $l: y=k x-3$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点．
1、当 $k$ 变化时，求点 $M$ 的轨迹方程．
2、若 $l$ 与双曲线 $E$ 的两条渐近线分别相交于 $C,D$ 两点，问：是否存在实数 $k$，使得 $A,B$ 是线段 $C D$ 的两个三等分点？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp A B$，且 $P D=P B$，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle B A D=\dfrac{\pi}{3}$．
1、证明：平面 $P A C \perp A B C D$．
2、若 $P A \perp P C$，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．
设 $a>0$，$A(2 a, 0)$，$B(0,2)$，$O$ 为坐标原点，则以 $O A$ 为弦，且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的标准方程为_______；若该圆与以 $O B$ 为直径的圆相交于第一象限内的点 $P$（该点称为直角 $\triangle O A B$ 的 ${\rm Brocard }$ 点），则点 $P$ 横坐标 $x$ 的最大值为_______
如图，已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的上、下底面边长 分别为 $2$ 和 $3$，侧棱长为 $1$，点 $P$ 在侧面 $B C C_1 B_1$ 内运动（包含边界），且 $A P$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$，则（ ）
A．$C P$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}-1$
B．存在点 $P$，使得 $A P \perp B C$
C．存在点 $P$，存在点 $Q \in B_1 C_1$，使得 $A P \parallel A_1 Q$
D．所有满足条件的动线段 $A P$ 形成的曲面面积为 $\dfrac{\sqrt{7}}{3} \pi$
已知函数 $f(x)=x(x-3)^2$，若 $f(a)=f(b)=f(c)$，其中 $a<b<c$，则（ ）
A．$1<a<2$
B．$a+b+c=6$
C．$a+b>2$
D．$a b c$ 的取值范围是 $(0,4)$
