在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\Gamma$：$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）．设 $A$ 为 $\Gamma$ 的一个长轴端点，$B$ 为 $\Gamma$ 的一个短牰端点，$F$ 为 $\Gamma$ 的一个焦点．已 知 $\Gamma$ 上存在关于 $O$ 对称的两点 $P, Q$，使得\[\overrightarrow{F P} \cdot \overrightarrow{F Q}+\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|A B|^{2}.\]
1、证明：焦点 $F$ 在 $A O$ 的延长线上．
2、求 $\Gamma$ 的离心率的取值范围．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$\Gamma_{1}$ 是以 $(2,1)$ 为圆心的单位圆，$\Gamma_{2}$ 是以 $(10,11)$ 为圆心的单位圆．过原点 $O$ 作一条直线 $l$，使得 $l$ 与 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 各有两个交点，将 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长．所有满足条件的直线 $l$ 的斜率之和为_______．
设集合 $S=\{1,2,3, \cdots, 10\}$，$ S$ 的子集 $A$ 满足 \[ A \cap\{1,2,3\} \neq \varnothing, \quad A \cup\{4,5,6\} \neq S, \] 这样的子集 $A$ 的个数为_______．
定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=2^{x}-x$，且对任意实数 $x$，均有 $f(x)+f(x+1)=1$．记 $a={\log _{2}} 3$，则表达式 $f(a)+f(2 a)+f(3 a)$ 的值为_______．
复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{100}$ 满足：$z_{1}=3+2 \mathrm{i}$，$z_{n+1}=\overline{z_{n}} \cdot \mathrm{i}^{\mathrm{n}}$（$n=1,2, \cdots, 99$）（$ \mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z_{99}+z_{100}$ 的值为_______．
求值：$\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=$_______．
函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot\ln x$．若 $f(x)\geqslant 1$ 对任意 $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值集合．
证明：对任一自然数 $n \geqslant 4$，下列命题成立：每个有外接圆的四边形，恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形．
$\displaystyle\int_1^9\sqrt{(x-1)(9-x)}{ {\rm d}} x=$ [[nn]].
