Math173

在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$P A=4$，$P B=P C=2 \sqrt{3}$，以 $A B$ 为直径的球的表面被 $\triangle P A C$ 截得的曲线长度为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6} \pi$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6} \pi$

C．$\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \pi$

D．$\dfrac{2 \sqrt{6}}{9} \pi$

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已知 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $2 \sin C=c \sin B$，$ a \cos B-c=1$，$\triangle A B C$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $a=$ _______．

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第 $13$ 届冬残奥会于 $3$ 月 $4$ 日在北京开幕．带着“一起向末来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的 $2$ 名男老师，$2$ 名女老师和 $1$ 名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续 $ 5 $ 天的协助工作，每人服务 $ 1 $ 天，如果 $ 2 $ 名男老师不能安排在相邻的两天，$2 $ 名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（       ）

A．$120$ 种

B．$96$ 种

C．$48$ 种

D．$24$ 种

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已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数．且当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x)={\log _{2}}(a-x)$．

1、求函数 $f(x)$ 的解析式．

2、若对任意的 $x \in[-1,1]$，都有不等式 $f\left(x^{2}-m x+m\right)+f\left(2 x^{2}-m x+2\right)<0$ 恒成立，求 实数 $m$ 的取值范国．

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已知函数 $f\left(x\right) = x - 1 + \dfrac{a}{{{{\mathrm{e}}^x}}}$，（$a \in {\mathbb{R}}$，${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）．

1、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值．

2、求函数 $f\left(x\right)$ 的极值．

3、当 $a = 1$ 时，若直线 $l:y = kx - 1$ 与曲线 $y = f\left(x\right)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．

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已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，$g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，则（       ）

A．$f(f(1))<f(f(2))$

B．$f(g(1))<f(g(2))$

C．$g(f(1))<g(f(2))$

D．$g(g(1))<g(g(2))$

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如图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制 《授时历》时所做的天文计算．图中的 $AB,AC,BD,CD$ 都是以 $O$ 为圆心的圆弧，$C M N K$ 是为计算所做的矩形，其中 $M, N, K$ 分别在线段 $O D, O B, O A$ 上，$M N \perp O B$，$ K N \perp O B$．记 $\alpha=\angle A O B$，$\beta=\angle A O C$，$\gamma=\angle B O D$，$\delta=\angle C O D$，则（       ）

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已知 $a, b, c$ 满足 $a={\log _5}\left(2^b+3^b\right)$，$c={\log _3}\left(5^b-2^b\right)$，则（       ）

A．$|a-c| \geqslant|b-c|$

B．$|a-c| \geqslant|b-c|$

C．$|a-b| \geqslant|b-c|$

D．$|a-b| \leqslant|b-c|$

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数学家祖冲之曾给出圆周率 $\pi$ 的两个近似值：“约率”$\dfrac{22}{7}$ 与“密率”$\dfrac{355}{113}$．它们可用“调日法”得到：称小于 $3.1415926$ 的近似值为弱率，大于 $3.1415927$ 的近似值 强率．由 $\dfrac{3}{1}<\pi<\dfrac{4}{1}$，取 $ 3$ 为弱率，$4$ 为强率，得 $a_1=\dfrac{3+4}{1+1}=\dfrac{7}{2}$，故 $a_1$ 为强率，与 上一次的弱率 $3$ 计算得 $a_2=\dfrac{3+7}{1+2}=\dfrac{10}{3}$，故 $a_2$ 为强率，继续计算，$\cdots \cdots$．若某次得 到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知 $a_m=\dfrac{22}{7}$，则 $m=$_______；$a_8=$_______．

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如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 $1 $ 次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 $(2,2)$ 将导致 $(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)$ 改变状态．如果要求只改变 $(1,1)$ 的状态，则需按开关的最少次数为_______． \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline (1,1)&(1,2)&(1,3)\\ \hline (2,1)&(2,2)&(2,3)\\ \hline (3,1)&(3,2)&(3,3)\\ \hline\end{array}\]

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