Math173

已知抛物线 $C: y^2=2 x$ 的准线为 $l$，直线 $x=m y+n$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为 $A B$ 的中点，则（       ）

A．当 $n=\dfrac{1}{2}$ 时，以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相交

B．当 $n=2$ 时，以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$

C．当 $|A B|=4$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离的最小值为 $2$

D．当 $|A B|=1$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离无最小值

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已知函数 $f(x)=2+\ln x$，$g(x)=a \sqrt{x}$，若总存在两条不同的直线与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象均相切，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

 A．$(0,1)$

B．$(0,2)$

C．$(1,2)$

D．$(1, \mathrm{e})$

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如图，一个棱长 $ 1$ 分米的正方体形封闭容器中盛有 $V$ 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则 $V$ 的取值范围是______．

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函数 $y=2 x^2+b x-c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A, B$，与 $y$ 轴交于点 $C$．圆 $M$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆．

1、证明：圆 $M$ 与 $y$ 轴另一交点为 $D$，证明 $D$ 点唯一并求出该定点．

2、已知 $\triangle ABD$ 的面积为 $\dfrac{5}{4}$ 且 $ b$ 和 $c$ 为正整数，求 $b, c$．

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已知函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象如图，则 $|a+b+c|+|a-b+c|+|2 a+b|-|2 a-b|=$ _______．

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有 $6$ 个队伍，两两之间比赛至多一场，现在第一个队到第五个队依次比赛了 $1$ 场、$2$ 场、$3$ 场、$4 $ 场、$5$ 场，则此时第六个队比赛了_______场．

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已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-k x-1$（$k \in \mathbb{R}$）．

1、若 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，求实数 $k$ 的取值范围．

2、讨论函数 $f(x)$ 的极值点个数，并说明理由．

3、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：函数 $f(x)$ 有三个零点．

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函数 $p(x)=\ln x+x-4$，$q(x)=a x {\rm e}^x $（$a \in \mathbb R$）．

1、若 $a={\rm e}$，设 $f(x)=p(x)-q(x)$，试证明 $f^{\prime}(x)$ 存在唯一零点 $x_0 \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right)$，并求 $f(x)$ 的最大值．

2、若关于 $x$ 的不等式 $|p(x)|>q(x)$ 的解集中有且只有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)={\rm e}^x-a x-1$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有零点 $x_0$．

① 求证：$\dfrac{2 \ln a}{a}<x_0<2 \ln a$；

② 求证：$f\left(a x_0\right)>(\sqrt{a}-1)^3(\sqrt{a}+1)$．

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设函数 $f(x)=\ln x+(x-a)^2$，$a \in \mathbb R$．

1、若 $a=0$，求函数 $f(x)$ 在 $[1, {\rm e}]$ 上的最小值．

2、若函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, 2\right]$ 上存在单调递增区间，试求实数 $a$ 的取值范围．

3、求函数 $f(x)$ 的极值点．

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