每日一题[2632]联立消参

设 $a>0$,$A(2 a, 0)$,$B(0,2)$,$O$ 为坐标原点,则以 $O A$ 为弦,且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的标准方程为_______;若该圆与以 $O B$ 为直径的圆相交于第一象限内的点 $P$(该点称为直角 $\triangle O A B$ 的 ${\rm Brocard }$ 点),则点 $P$ 横坐标 $x$ 的最大值为_______

答案    $(x-a)^2+(y+a^2)^2=a^2+a^4$;$\dfrac45$.

解析    根据题意,以 $O A$ 为弦,且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的圆心 $Q(a,-a^2)$,于是所求圆的标准方程为\[(x-a)^2+(x+a^2)^2=a^2+a^4,\]以 $OB$ 为直径的圆的方程为\[x^2+(y-1)^2=1,\]联立可得点 $P(x,y)$ 满足\[\begin{cases} y=tx,\\ x=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},\end{cases}\]其中 $t=\dfrac{a}{1+a^2}$,$t$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$,因此 $x$ 的最大值为 $\dfrac 45$,等号当 $a=1$ 时取得.

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