每日一题[2467]展开

已知 $f(x)={\rm e}^{\sin x^2}$,则 $f^{(8)}(0)=$ _______.

答案    $-5040$.

解析    考虑到泰勒展开\[{\rm e}^t=1+t+\dfrac1{2}t^2+\dfrac 16t^3+\dfrac1{24}t^4+\cdots,\]以及\[t=\sin x^2=x^2-\dfrac 16x^6+\dfrac{1}{120}x^{10}-\cdots,\]观察其中 $x^8$ 的系数,只出现在 $t^2$ 和 $t^4$ 项,为\[\dfrac 12\cdot \dbinom 21\left(-\dfrac 16\right)+\dfrac1{24}\dbinom44=-\dfrac18,\]因此所求值为 $8!\cdot \left(-\dfrac 18\right)=-7!=\boxed{-5040}$.

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