每日一题[2475]基本量

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $\Gamma$:$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>b>0$).设 $A$ 为 $\Gamma$ 的一个长轴端点,$B$ 为 $\Gamma$ 的一个短牰端点,$F$ 为 $\Gamma$ 的一个焦点.已 知 $\Gamma$ 上存在关于 $O$ 对称的两点 $P, Q$,使得\[\overrightarrow{F P} \cdot \overrightarrow{F Q}+\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|A B|^{2}.\]

1、证明:焦点 $F$ 在 $A O$ 的延长线上.

2、求 $\Gamma$ 的离心率的取值范围.

解析

1、不妨设 $A(a,0)$,$B(b,0)$,$F(c,0)$,设 $|OP|=r$,则根据题意,有\[(c^2-r^2)+(c^2-ac)=a^2+b^2,\]整理可得\[r^2=c(c-a)-2b^2,\]因此 $c<0$,从而焦点 $F$ 在 $AO$ 的延长线上.

2、不妨设 $a=1$,$\Gamma$ 的离心率为 $e$,则 $c=-e$,$b^2=1-e^2$,从而\[r^2=e(e+1)-2(1-e^2)=3e^2+e-2,\]而 $r$ 的取值范围是 $[b,a]$,也即 $r^2$ 的取值范围是 $\left[1-e^2,1\right]$,因此\[1-e^2\leqslant 3e^2+e-2\leqslant 1,\]解得 $e$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 34,\dfrac{\sqrt{37}-1}6\right]$.

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