每日一题[2468]组合构造

证明:对任一自然数 $n \geqslant 4$,下列命题成立:每个有外接圆的四边形,恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形.

解析    设四边形 $ABCD$ 有外接圆,如图.

$n=4$ 时.我们分别在线段 $DC$ 内取一点 $A^{\prime}$,线段 $AD$ 内取一点 $C^{\prime}$,作四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$,使点 $B^{\prime}$$\triangle ACD$ 的内部,并且使
\[\angle D A^{\prime} B^{\prime}=\angle D A B, \quad \angle D C^{\prime} B^{\prime}=\angle D C B,\]于是,四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 与四边形 $ABCD$ 的内角分别对应相等,由于点 $B^{\prime}$ 可以取得与点 $D$ 充分接近,因此,总可以使过点 $B^{\prime}$$DC$ 边的平行线交 $BC$$E$,过点 $B^{\prime}$$DA$ 边的平行线交 $AB$ 边与 $F$,于是四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, B^{\prime} E C A^{\prime}, F B E B^{\prime}$$A F B^{\prime} C^{\prime}$ 就是所求的四个四边形.因为,由四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$F B E B^{\prime}$ 的内角分别与四边形 $ABDC$ 的内角对应相等可知,这两个四边形有外接圆.又由
\[\angle C A^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D A^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D A B=\angle B C D,\]\[\angle A C^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D C^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle B C D=\angle D A D\]可知,梯形 $B^{\prime} E^{\prime} C A^{\prime}$ 和梯形 $A F B^{\prime} C^{\prime}$ 都是等腰梯形,因而这两个四边形也有外接圆.
$n \geqslant 5$ 时,应用上述的结果,可以得出一般性的简单解法:将两个等腰梯形中的一个,用平行于底边的平行线分成 $n-3$ 个小的等腰梯形,每个小梯形都有外接圆,于是就将原来的四边形便分成了 $n$ 个四边形,并且每个四边形都有外接圆.

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