每日一题[2470]构造图形

求值:$\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=$_______.

答案    $\dfrac 12$.

解析    如图,设 $OA=OB=1$,且 $\angle AOP=12^\circ$,$\angle BOP=48^\circ$,则 $\angle BOA=36^\circ$,设 $A,B$ 在 $OP$ 上的投影分别为 $A_1,B_1$,$B$ 在 $OA$ 上的投影为 $H$,则\[ \cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=OB_1-OA_1+OH=OH-A_1B_1.\]

注意到\[\angle B_1BA=\angle BOA-\angle BOB_1=72^\circ-42^\circ=30^\circ,\]于是 $A_1B_1=\dfrac 12AB$.倍长 $OH$ 到 $C$,有 $OH=\dfrac12OC$,此时\[\angle ACB=\angle ABC=36^\circ,\]因此\[OH-A_1B_1=\dfrac{OC-AB}2=\dfrac{OC-AC}2=\dfrac 12OA=\dfrac 12.\]

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