每日一题[2469]恰好相逢

函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot\ln x$.若 $f(x)\geqslant 1$ 对任意 $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值集合.

答案    $\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.

解析  注意到 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=1$,因此考虑补充 $A(1,0)$ 点后的函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值(也为最小值)$1$.根据题意,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{x(x-1)^2}\cdot \left(a(x-1)^2+(x-1)-x\ln x\right),\]设 $x=1+\delta$,则\[a(x-1)^2+(x-1)-x\ln x=a\delta^2+\delta-(1+\delta)\ln (1+\delta),\]考虑到 $a$ 影响 $\delta^2$,因此记右侧为 $g(\delta)$,则\[g(\delta)=a\delta^2+\delta-(1+\delta)\left(\delta-\dfrac 12\delta^2+o(\delta^3)\right)=\left(a-\dfrac 12\right)\delta^2+o(\delta^3),\]因此 $a=\dfrac 12$.否则在 $1$ 的邻域内 $f'(x)$ 保号,也即在该邻域内 $f(x)$ 单调,不可能同时满足在 $x=1$ 两侧函数值均不小于 $1$.严格证明如下.

情形一     $a=\dfrac 12$.此时即对数函数的进阶放缩,成立.

情形二    $a>\dfrac12$.此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 的邻域内单调递增,因此在 $x=1$ 的左侧会出问题.考虑当 $-1<\delta<0$ 时,有\[\ln(1+\delta)<\delta-\dfrac 12\delta^2,\]因此\[g(\delta)>\dfrac 12\delta^2\left(\delta+2a-1\right),\]这样在区间 $\left(\max\{1-2a,-1\},0\right)$ 上 $ g(\delta)$ 恒正,从而在对应区间 $ \left(\max\{2-2a,0\},1\right)$ 上,$ f(x)$ 单调递增,因此在该区间上 $ f(x)<1 $,不符合题意.

情形三     $a<\dfrac12$.此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 的邻域内单调递减,因此在 $x=1$ 的右侧会出问题.考虑当 $0<\delta$ 时,有\[\ln(1+\delta)>\delta-\dfrac 12\delta^2,\]因此\[g(\delta)<\dfrac 12\delta^2\left(\delta+2a-1\right),\]这样在区间 $\left(0,1-2a\right)$ 上 $ g(\delta)$ 恒正,从而在对应区间 $ \left(1,2-2a\right)$ 上,$ f(x)$ 单调递减,因此在该区间上 $ f(x)<1 $,不符合题意.

综上所述,实数 $ a $ 的取值集合为 $ \left\{\dfrac 12\right\}$.

备注    关于 $y=\ln x$ 和 $y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}+a}$ 的图象的位置关系,如图.

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每日一题[2469]恰好相逢》有3条回应

  1. louxin2020说:

    对数放缩不等号反了吧?

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