已知 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=2}^{10}{\left(\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x \rfloor\right)}$，其中 $\lfloor r \rfloor$ 为不大于 $r$ 的最大整数．则当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x)$ 的能取到的不同值的个数为（ ）
A．$32$
B．$36$
C．$45$
D．$46$
E．无穷多个
如图所示，已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$，过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个交点，若抛物线 $C$ 上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称，记 $M N$ 的中点为 $T$．
1、求点 $T$ 的轨迹方程．
2、求 $\triangle A M T$ 的面积的最大值．
四棱锥 $A-B C D E$ 中，$\triangle A B C$ 为正三角形，$C D \parallel B E$，$B C=C D=\dfrac{1}{2} B E=1$，$D E=\sqrt{3}$，$A D=\dfrac{3}{2}$．
1、求四棱锥 $A-B C D E$ 的体积．
2、求 $B E$ 与面 $A D E$ 所成角的正弦值．
已知 $P(a, b)$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 上的任意一点，过原点 $O$ 作圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\dfrac{6}{5}$（$a^{2} \neq \dfrac{6}{5}$）的两条切线，设这两条切线与椭圆交于 $M, N$ 两点，则 $O M, O N$ 的斜率之积为（ ）
A．$-\dfrac{1}{2}$
B．$-\dfrac{2}{3}$
C．$-\dfrac{3}{4}$
D．$-\dfrac{5}{6}$
在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=4$，$A C=3$，$\angle B A C=120^{\circ}$，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $2 B E=E C$，则 $A E$ 的长度为（ ）
A．$\dfrac{5}{2}$
B．$\dfrac{7}{3}$
C．$\dfrac{2 \sqrt{7}}{3}$
D．$2 \sqrt{2}$
已知函数 $f(x)=\ln x-a x+\dfrac{a}{x}$（$a>0$）．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时：
① 解关于 $x$ 的不等式 $f(x)>0$；
② 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：\[\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)<\mathrm{e}^{\frac{3}{4}}.\]
2、若函数 $g(x)=f(x)-\ln 2+\dfrac{3 a}{x}$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动圆 $P$ 与圆 $O_{1}: x^{2}-2 x+y^{2}=0$ 内切，且与直线 $x=-2$ 相切，设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．
1、求曲线 $C$ 的方程．
2、曲线 $C$ 上存在一点 $S\left(4, y_{0}\right)$（$y_{0}>0$），不经过点 $S$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $A S, B S$ 的斜率之和为 $2$，证明：直线 $l$ 过定点．
已知函数 $f(x)=a \ln x-\sin x+x$，其中 $a$ 为非零常数．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．
2、设 $\theta \in\left(\pi, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$，且 $\cos \theta=1+\theta \sin \theta$，证明：当 $\theta^{2} \sin \theta<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 上恰有两个极值点．
元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人 晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会．比赛规 则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于 $30$ 人，且 参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式 有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．
方式一：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $n$ 组，每组 $2$ 人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这 $n$ 个小组都闯间关成功，则该班级团队挑战成功．
方式二：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $2$ 组，每组 $n$ 人．电脑随机分配给同一组 $n$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $n$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这 $2$ 个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功．
1、甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率．
2、在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $p$（$0<p<1$），为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．
已知抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线为 $l$，过点 $M(1,0)$ 且倾斜角为 $60^\circ$ 的直线 $m$ 与直线 $l$ 交于点 $A$，$B$ 为抛物线 $C$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，则 $p=$ _______．
