每日一题[2559]化齐次联立

在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知动圆 $P$ 与圆 $O_{1}: x^{2}-2 x+y^{2}=0$ 内切,且与直线 $x=-2$ 相切,设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.

1、求曲线 $C$ 的方程.

2、曲线 $C$ 上存在一点 $S\left(4, y_{0}\right)$($y_{0}>0$),不经过点 $S$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点,若直线 $A S, B S$ 的斜率之和为 $2$,证明:直线 $l$ 过定点.

解析

1、根据题意,动圆圆心 $P$ 到点 $(1,0)$ 的距离与到直线 $x=-1$ 的距离相等,根据抛物线的定义,可得曲线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$.

2、根据题意,有 $S(4,4)$,作平移变换 $x'=x-4$,$y'=y-4$,可得抛物线方程变为\[(y+4)^2=4(x+4)\iff y^2+8y-4x=0,\]设此时 $AB$ 的方程为 $mx+ny=1$,则化齐次联立,可得\[y^2+(8y-4x)(mx+ny)=0\iff (8n+1)y^2+(8m-4n)xy-4mx^2=0,\]此时由直线 $A'S',B'S'$ 的斜率之和为 $2$,可得\[-\dfrac{8m-4n}{8n+1}=2\iff (-4)m+(-6)n=1,\]因此直线 $A'B'$ 恒过定点 $R'(-4,-6)$,即原坐标系直线 $AB$ 恒过定点 $R(0,-2)$.

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