每日一题[2564]参数方程

如图所示,已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$,过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个交点,若抛物线 $C$ 上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称,记 $M N$ 的中点为 $T$.

1、求点 $T$ 的轨迹方程.

2、求 $\triangle A M T$ 的面积的最大值.

解析

1、设 $M(2m^2,2m)$,$N(2n^2,2n)$,则 $T(m^2+n^2,m+n)$,$A(2,0)$,于是根据截距坐标公式,有\[\dfrac{2m^2\cdot 2n-2n^2\cdot 2m}{2n-2m}=2\iff m^2+n^2=1,\]进而可得 $T$ 的轨迹方程为 $x=1$($-\sqrt 2\leqslant y\leqslant \sqrt 2$ 且 $y\ne 0$).

2、根据三角形的面积坐标公式,有\[[\triangle AMT]=\dfrac 12[\triangle AMN]=|m-n|\cdot (mn+1)=\dfrac 12t(3-t^2),\]其中 $t=|m-n|$.而根据均值不等式,有\[\dfrac 12 t(3-t^2)=\dfrac 1{2\sqrt 2}\cdot \sqrt{2t^2(3-t^2)(3-t^2)}\leqslant 1,\]等号当 $t=\pm 1$ 时确定,因此 $\triangle AMT$ 的面积的最大值为 $1$.

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