将 $\left(\sqrt[3]{49}\right)^{100}$ 用科学记数法写为 $a\cdot 10^n$，其中 $1\leqslant a<10$，且 $n$ 为正整数．若 $a$ 的整数部分为 $m$，则 $(m,n)=$ _______．（参考数据：$\lg 2\approx 0.3010$，$\lg 3\approx 0.4771$，$\lg 7\approx 0.8451$．）
从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这九个数中任意取出三个不同的数，每个数被取出的概率均相等，则三个数的乘积是一个完全平方数的概率为_______．
设多项式函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$，其中 $a, b, c$ 均为有理数，则（ ）
A．函数 $y=f(x)$ 与抛物线 $y=x^2+100$ 的图象可能没有公共点
B．若 $f(0)f(1)<0<f(0)f(2)$，则方程 $f(x)=0$ 必有三个不同的实数解
C．若 $1+3{\rm i}$ 是方程 $f(x)=0$ 的复根，则方程 $f(x)=0$ 有一个有理根
D．存在有理数 $a,b,c$，使得 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 按次序为等差数列
E．存在有理数 $a,b,c$，使得 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 按次序为等比数列
平面上有一梯形 $A B C D$，其上底 $\overline{A B}=10$，下底 $\overline{C D}=15$，且腰长 $\overline{A D}=\overline{B C}+1$，则（ ）
A．$\angle A>\angle B$
B．$\angle B+\angle D<180^\circ$
C．$\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0$
D．$\overline{BC}$ 的长可能为 $2$
E．$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}<30$
在 $\triangle A B C$ 中，已知知道 $\overline{A B}=4$ 和 $\overline{A C}=6$，此时尚不足以确定 $\triangle A B C$ 的形状与大小．但是，只要再知道某些条件（例如：再知道 $\overline{B C}$ 的长度），就可确定 $\triangle A B C$ 唯一的形状与大小．下列条件中可以确定 $\triangle ABC$ 唯一的形状与大小的是（ ）
A．$\cos A$
B．$\cos B$
C．$\cos C$
D．$\triangle ABC$ 的面积
E．$\triangle ABC$ 的外接圆半径
坐标平面上有一边长为 $3$ 个正六边形 $A B C D E F$，其中 $A(3,0)$，$D(-3,0)$，则椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 有多少个交点？（ ）
A．$0$
B．$2$
C．$4$
D．$6$
E．$8$
已知 $a,b$ 是互质的正整数，满足 $a+b=2005$．用 $[x]$ 表示数 $x$ 的整数部分，并记\[\begin{split} A&=\left[\dfrac{2005\times 1}{a}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{a}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times a}{a}\right],\\ B&=\left[\dfrac{2005\times 1}{b}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{b}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times b}{b}\right],\end{split}\]试求 $A+B$ 的值．
设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$，$n$ 是正整数．证明：对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\big\{S_n-[S_n]\big\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$．
