设 $a, b$ 都为正数，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，若 $a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b$，则（ ）
A．$a b>\mathrm{e}$
B．$b>\mathrm{e}^{a+1}$
C．$a b<\mathrm{e}$
D．$b<\mathrm{e}^{a+1}$
在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点 $A(1,0)$，$B(2,0)$，$C(4,0)$，$D(8,0)$，则这个正方形的面积可能为_______．
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=3$，$S_{3}=5 a_{1}$．
1、求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
2、设 $b_{n}=1+\dfrac{2}{S_{n}}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$．定义 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[0.3]=0$，$[1.5]=1$．当 $\left[T_{1}\right]+\left[T_{2}\right]+\cdots+\left[T_{n}\right]=63$ 时，求 $n$ 的值．
设椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），圆 $C:(x-2 m)^{2}+(y-4 m)^{2}=1$（$m \neq 0$），点 $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，点 $C$ 为圆心，$O$ 为原点，线段 $O C$ 的垂直平分线为 $l$．已知 $E$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $l$ 的对称点都在圆 $C$ 上．
1、求椭圆 $E$ 的方程．
2、设直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，问：是否存在实数 $m$，使直线 $A C$ 与 $B C$ 的斜率之和 为 $\dfrac{2}{3}$？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，说明理由．
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\triangle ABD,\triangle BCD,\triangle ABC$ 的面积比是 $3:4:1$，点 $M,N$ 分别在 $AC,CD$ 上，满足 $AM:AC=CN:CD$，并且 $B,M,N$ 三点共线．求证：$M$ 与 $N$ 分别是 $AC$ 与 $CD$ 的中点．
已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，$E,F$ 分别是 $AC,BC$ 的中点，$\angle EPF=60^\circ$，则球 $O$ 的表面积为_______．
将 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数全部填入 $3\times 3$ 的方格内，每个格内填一个数，则使得每行中的数从左至右递增，每列中的数从上至下递减的不同填法共有（ ）种．
A．$12$
B．$24$
C．$42$
D．$48$
若 $\sin \theta+\cos\theta=\dfrac 75$，且 $\tan \theta<1$，则 $\sin\theta=$_______．
已知 $x,y\geqslant 0$，$x^{2019}+y=1$，求证：$x+y^{2019}>1-\dfrac 1{300}$．（参考数据：$\ln 2019\approx 7.610$．）
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_2=6$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+9}{a_n}$（$n\in\mathbb Z^+$）．
1、证明：数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．
2、是否存在 $m\in\mathbb N^+$，使得 $2109\mid a_m$，并说明理由．
