每日一题[2556]小心讨论

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线为 $l$,过点 $M(1,0)$ 且倾斜角为 $60^\circ$ 的直线 $m$ 与直线 $l$ 交于点 $A$,$B$ 为抛物线 $C$ 上一点,且满足 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$,则 $p=$ _______.

答案    $2,-6$.

解析    

解法一    由 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ 以及直线 $m$ 的倾斜角为 $60^\circ$,可设 $A(1+t,\sqrt 3t)$,$B(1-t,-\sqrt 3t)$,则\[\begin{cases} 1+t=-\dfrac p2,\\ (-\sqrt 3t)^2=2p(1-t),\end{cases}\iff (p,t)=(2,-2),(-6,2),\]因此 $p=2,-6$.

解法二    按 $p$ 的正负分类讨论,过 $B$ 作 $BH\perp l$ 于 $H$,则 $\angle BAH=30^\circ$,进而 $BH=\dfrac 12AB=BM$,作以 $B$ 为圆心 $BH$ 为半径的圆与 $x$ 轴交于 $M$ 以及另一点(记为 $N$),此时抛物线 $C$ 的焦点为 $M,N$ 两点中的某一点.

情形一     $p>0$.如左图,若 $M$ 为焦点,则 $p=2$;若 $N$ 为焦点,设 $H,B$ 在 $x$ 轴上的投影分别为 $H',B'$,则由 $N$ 的横坐标大于 $B$ 的横坐标,可得 $NH'$ 的中点 $O$ 在 $B'H'$ 的中点 $M$ 的右侧,矛盾.

情形二    $p<0$.如右图,此时 $M$ 不可能为焦点;若 $N$ 为焦点,设 $AH$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$,则 $EM=\dfrac{-p}2-1$,$MN=\dfrac{-p}2+1$,此时有 $MN=BM=BH=2ME$,于是\[\dfrac{-p}2+1=2\left(\dfrac{-p}2-1\right),\]解得 $p=-6$.

综上所述,$p=2,-6$.

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  1. 猴子派来的说:

    七周年,撒花~

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