已知 $a \in {\mathbb{R}}$，函数 $f \left(x \right) = 2{x^3} - 3 \left(a + 1 \right){x^2} + 6ax$．
1、若 $a = 1$，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $ \left(2,f \left(2 \right) \right)$ 处的切线方程．
2、若 $ \left|a \right| > 1$，求 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $ \left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值．
在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$\angle BAD = 60^\circ $，$E$ 为 $CD$ 的中点．若 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1$，则 $AB$ 的长为_______．
设 $a \in \left[ - 2,0\right]$，已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^3} - \left(a + 5\right)x,&x \leqslant 0, \\ {x^3} - \dfrac{a + 3}{2}{x^2} + ax,&x > 0. \\ \end{cases}}$
1、证明：$f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - 1,1\right)$ 内单调递减，在区间 $\left(1, + \infty \right)$ 内单调递增．
2、设曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 ${P_i}\left({x_i},f\left({x_i}\right)\right)$（$i = 1,2,3$）处的切线相互平行，且 ${x_1}{x_2}{x_3} \ne 0$， 证明：${x_1} + {x_2} + {x_3} > - \dfrac{1}{3}$．
设函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} + x - 2$，$g\left(x\right) = \ln x + {x^2} - 3$．若实数 $a,b$ 满足 $f\left(a\right) = 0$，$g\left(b\right) = 0$，则（ ）
A．$g\left(a\right) < 0 < f\left(b\right)$
B．$f\left(b\right) < 0 < g\left(a\right)$
C．$0 < g\left(a\right) < f\left(b\right)$
D．$f\left(b\right) < g\left(a\right) < 0$
已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}\ln x$．
1、求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．
2、证明：对任意的 $t > 0$，存在唯一的 $s$，使 $t = f\left( s \right)$．
3、设 $(2)$ 中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g\left( t \right)$，证明：当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，有 $\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left( t \right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x^2-x+1$．
1、求 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $x<0$，$\dfrac{(f(x)-x^2-1)a+2x}{f(x)}\geqslant -1$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $Q$，交 $A C$ 于 $P$，若 $\left|\overrightarrow{A B}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{A C}\right|=2$，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=$（ ）
A．$3$
B．$\dfrac{3}{2}$
C．$\sqrt{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
函数 $f(x)=a x-\ln (x+1)$，$g(x)=\sin x$，且 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
1、求实数 $a$ 的取值范围 $M$．
2、当 $a \in M$ 时，判断 $f(x)$ 图象与 $g(x)$ 图象的交点个数，并证明．
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}+x \ln x+1$．
1、当 $a=-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减．
2、讨论 $f(x)$ 的零点个数．
已知函数 $f(x)=\left(1+a x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}-1$．
1、当 $a \geqslant 0$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、求函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上零点的个数．
