每日一题[2743]雷达扫描

已知 $\dfrac{z}{2}$ 与 $\dfrac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$,则 复数 $z$ 在复平面上形成轨迹的面积为 $a+b\pi$,其中 $a,b\in\mathbb Z$,则 $a+b=$(       )

A.$8$

B.$10$

C.$12$

D.前三个答案都不对

答案    B.

解析    设 $z=(\theta:r)$,则\[\dfrac z2=\left(\theta:\dfrac r2\right),\quad \dfrac 2z=\left(-\theta:\dfrac 2r\right),\]进而有\[\begin{cases} -1\leqslant \dfrac r2\cos\theta\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac r2\sin\theta\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac 2r\cos(-\theta)\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac 2r\sin(-\theta)\leqslant 1,\end{cases}\iff \min\left\{2|\cos\theta|,2|\sin\theta|\right\}\leqslant r\leqslant \max\left\{\dfrac{2}{|\cos\theta|},\dfrac{2}{|\sin\theta|}\right\},\]注意到对称性,只需要考虑 $\theta\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 时的情形,为线段 $PQ$ 划过的区域(曲边三角形 $ABC$),其中 $P$ 在以 $OA$ 为直径的圆上,$Q$ 在圆在 $A$ 处的切线上,$OA=2$,如图.

可得曲边三角形 $ABC$ 的面积\[S=[\text{梯形}~ CDAB]-[\text{扇形}~DAC]=\dfrac 32-\dfrac{\pi}4,\]从而所求面积为 $8S=12-2\pi$,进而 $a+b=10$.

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