每日一题[2752]正交分解

在 $\triangle ABC$ 中,设 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $4a^2=b^2+2c^2$,若 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$,则 $\dfrac{S}{a^2}$ 的最大值是_______.

答案    $\dfrac{\sqrt{10}}6$.

解析    设 $a=1$,$b^2=h^2+x^2$,$c^2=h^2+y^2$,其中 $x+y=1$,而\[x^2+2y^2+3h^2=4,\]于是\[4-3h^2=x^2+2y^2\geqslant \dfrac{(x+y)^2}{1+\dfrac 12}=\dfrac 23,\]从而 $h^2\leqslant \dfrac{10}9$,因此\[\dfrac{S}{a^2}=\dfrac 12h\leqslant \dfrac{\sqrt{10}}6,\]等号当 $x=2y$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac{10}6$.

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每日一题[2752]正交分解》有1条回应

  1. ora说:

    最后写错了
    是根号10

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