每日一题[2753]冻结变量

设 $a,b,c$ 是三角形 $ABC$ 的三边长,且 $a+b+c=1$,则 $a^2+b^2+c^2+4abc$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$.

解析    根据题意,设题中代数式为 $m$,则\[m=(a+b)^2+c^2+2ab(2c-1)=(1-c)^2+c^2+2ab(2c-1)=2c^2-2c+1-2ab(1-2c),\]而 $1-2c=a+b-c>0$,而\[0<ab\leqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^2=\dfrac{(1-c)^2}4,\]左侧当 $(a,b,c)\to (0,1-c,c),(1-c,0,c)$ 时取等号,右侧当 $(a,b,c)\to \left(\dfrac{1-c}2,\dfrac{1-c}2,c\right)$ 时取等号,因此\[2c^2-2c+1-2\cdot \dfrac{(1-c)^2}4\cdot (1-2c)\leqslant m<2c^2-2c+1,\]即\[\dfrac{13}{27}\leqslant \dfrac{1-c\cdot c\cdot (1-2c)}{2}=c^3-\dfrac 12c^2+\dfrac 12\leqslant m<2\left(c-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12=\dfrac 12,\]因此 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$,当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时取得最小值;当 $(a,b,c)\to \left(0,\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得上确界.

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