『28929865』正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$\left\{a_{a_n}\right\}$（$n=1,2,\cdots$）构成公差为 $d$ 的等差数列（$d\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、若 $\{a_n\}$ 为等差数列，求 $d-a_3$ 的最小值．
2、若 $n\geqslant d$，求证：$a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \left(\dfrac 32-\dfrac 8d\right)n^2$．
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x5\right]=x$ 的解的个数为（ ）
A．$15$
B．$30$
C．$60$
D．无穷多个
『28920987』设 $S(m)$ 是十进制下 $m$ 的各位数码之和，且 $S_{n+1}(n)=S\left(S_n(m)\right)$，$n\in\mathbb N$，其中记 $S_0(m)=m$．若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为奇数，则称 $m$ 为奇和数；若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为偶数，则称 $m$ 为偶和数．求证：在不超过 $2017$ 的正整数中，奇和数比偶和数多．
『28934067』设 $a,b,c$ 是正实数，求证：$\dfrac{bc}{a^2+bc}+\dfrac{ca}{b^2+ca}+\dfrac{ab}{c^2+ab}\leqslant \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$．
已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-x{\rm e}^x$．
1、求曲线 $f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程．
2、证明：$f(x)$ 存在唯一的极值点．
3、若存在 $a$，使得 $f(x)\leqslant a+b$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
『28914243』已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：$\dfrac a{a^2+bc+a}+\dfrac{b}{b^2+ca+1}+\dfrac{c}{c^2+ab+1}\leqslant 1$．
『28914143』已知 $p$ 和 $q$ 是两个不同素数，$\varphi(x)$ 表示不超过 $x$ 且与 $x$ 互素的正整数的个数．
1、求证：$\varphi(pq)=pq\left(1-\dfrac 1p\right)\left(1-\dfrac 1q\right)$．
2、$n$ 为 $m$ 个不同素数的乘积，且 $S=\displaystyle\sum_{\substack{xy\mid n,\\ x,y\in\mathbb N^{\ast}}}\varphi(x)\cdot y$，求 $\dfrac{S}n$．
『28907585』设集合 $S\subseteq \mathbb N^{\ast}$．若存在函数 $f:S\to\mathbb N^{\ast}$，满足对任意 $a,b,c\in S$，$a,b,c$ 成等比数列当且仅当 $f(a),f(b),f(c)$ 成等差数列，则称 $S$ 为好集合．
1、证明：$\mathbb N^{\ast}$ 不是好集合．
2、集合 $T=\{x\in\mathbb N^{\ast}\mid \text{ 对任意质数 }p,p^{2021}\nmid x\}$ 是否为好集合？
『28904109』某届数学年会恰有 $n$（$n\geqslant 8$）对夫妻参加，大会安排所有的男士坐一张有 $n$ 个座位的圆桌旁，所有女士坐在另一张也是有 $n$ 个座位的圆桌旁．大会主办单位法医会中人传人的病毒在与会者之间传播，且其传播途径如下：设 $P$ 为一位健康的与会者，且只有在其所在位置两侧邻座及其配偶这三人中至少有两人感染病毒的情形下，$P$ 才会感染到病毒，否则，$P$ 会一直保持健康．设会议一开始的 $2n$ 个人中某 $m$ 个人已经成为了病毒感染者，且之后病毒在与会者之间不断传染，导致最终所有原本健康的与会均感染了病毒．求 $m$ 的最小值．
『28903573』已知锐角 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交圆 $O$ 于点 $D$，$K$ 为线段 $BC$ 珊高一点，$E,F$ 分别在 $AC,AB$ 上且 $FB=FK$，$EC=EK$，求证：$DK\perp EF$．
