有 $6$ 个队伍，两两之间比赛至多一场，现在第一个队到第五个队依次比赛了 $1$ 场、$2$ 场、$3$ 场、$4 $ 场、$5$ 场，则此时第六个队比赛了_______场．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-k x-1$（$k \in \mathbb{R}$）．
1、若 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，求实数 $k$ 的取值范围．
2、讨论函数 $f(x)$ 的极值点个数，并说明理由．
3、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：函数 $f(x)$ 有三个零点．
函数 $p(x)=\ln x+x-4$，$q(x)=a x {\rm e}^x $（$a \in \mathbb R$）．
1、若 $a={\rm e}$，设 $f(x)=p(x)-q(x)$，试证明 $f^{\prime}(x)$ 存在唯一零点 $x_0 \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right)$，并求 $f(x)$ 的最大值．
2、若关于 $x$ 的不等式 $|p(x)|>q(x)$ 的解集中有且只有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-a x-1$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有零点 $x_0$．
① 求证：$\dfrac{2 \ln a}{a}<x_0<2 \ln a$；
② 求证：$f\left(a x_0\right)>(\sqrt{a}-1)^3(\sqrt{a}+1)$．
设函数 $f(x)=\ln x+(x-a)^2$，$a \in \mathbb R$．
1、若 $a=0$，求函数 $f(x)$ 在 $[1, {\rm e}]$ 上的最小值．
2、若函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, 2\right]$ 上存在单调递增区间，试求实数 $a$ 的取值范围．
3、求函数 $f(x)$ 的极值点．
已知函数 $f(x)=x \ln x+\dfrac{1}{x}$．
1、求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k x-k$（$k>0$）有且只有一个公共点 $P\left(x_0, y_0\right)$，求证：$2<x_0<3$．
设函数 $f(x)=a^x+{\rm e}^{-x}$（$a>1$）．
1、求证：$f(x)$ 有极值．
2、若 $x=x_0$ 时 $f(x)$ 取极值，且对任意正整数 $a$ 都有 $x_0 \in(m, n)$，其中 $m, n \in \mathbb Z$，求 $n-m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=a {\rm e}^x-{\rm e} x-a$（$a<{\rm e}$）．
1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，求 $a$ 的值．
2、若 $a=1$，证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)+2 x-x \ln (x+1) \geqslant 0$ 成立．
设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2} a x^2-b x$，其中 $a, b \in \mathbb R$．
1、若 $b=1-a$，且 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
2、当 $a=0$，$ b=-1$ 时，方程 $2 m f(x)=x^2$ 有唯一实数解，求正数 $m$ 的值．
