椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，$a + b = 3$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、如图所示，$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m - k$ 为定值．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a \sin x$，$g(x)=b\sqrt{x}$．
1、求 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程．
2、已知 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 有公共点．
① 当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
② 求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$．
椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $B$，右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，且 $\dfrac{|B F|}{|A B|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
1、求椭圆的离心率 $e$．
2、已知直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $N$（异于 $M$），若 $|O M|=|O N|$ 且 ${\triangle M O N}$ 的面积 $\sqrt{3}$，求椭圆的标准方程．
已知函数 $f\left( x \right) = a\left( {1 - 2\left| {x - \dfrac{1}{2}} \right|} \right) $，$a$ 为常数且 $a > 0$．
1、证明：函数 $f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{1}{2}$ 对称．
2、若 ${x_0}$ 满足 $f\left( {f\left( {x_0} \right)} \right) = {x_0}$，但 $f\left( {x_0} \right) \ne {x_0}$，则称 ${x_0}$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的二阶周期点，如果 $f\left( x \right)$ 有两个二阶周期点 ${x_1},{x_2}$，试确定 $a$ 的取值范围．
3、对于 $(2)$ 中的 ${x_1},{x_2}$ 和 $a$，设 ${x_3}$ 为函数 $f\left( {f\left( x \right)} \right)$ 的最大值点，$A\left( {{x_1},f\left( {f\left( {x_1} \right)} \right)} \right)$，$ B\left( {{x_2},f\left( {f\left( {x_2} \right)} \right)} \right)$，$C\left( {{x_3},0} \right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S\left( a \right)$，讨论 $S\left( a \right)$ 的单调性．
如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 经过点 $P\left( {1,\dfrac{3}{2}} \right)$，离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2},{k_3}$．问：是否存在常数 $\lambda $，使得 ${k_1} + {k_2} = \lambda {k_3}$？若存在，求 $\lambda $ 的值；若不存在，请说明理由．
如图，半径为 $1$ 的半圆 $O$ 与等边三角形 $ABC$ 夹在两平行线 ${l_1},{l_2}$ 之间，$l\parallel {l_1}$，$l$ 与半圆相交于 $F,G$ 两点，与三角形 $ABC$ 两边相交于 $E,D$ 两点．设弧 $FG$ 的长为 $x $（$0 < x < {\mathrm \pi} $），$ y = EB + BC + CD $，若 $ l $ 从 $ {l_1} $ 平行移动到 $ {l_2} $，则函数 $ y = f\left(x \right)$ 的图象大致是（ ）
已知 $a > 0$，函数 $f\left(x\right) = \left| {\dfrac{x - a}{x + 2a}} \right|$．
1、记 $f\left(x\right)$ 在区间 $ \left[ {0,4} \right]$ 上的最大值为 $g\left(a\right) $，求 $g\left(a\right)$ 的表达式．
2、是否存在 $a$，使函数 $y = f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0,4} \right)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
过抛物线 $E:{x^2} = 2py$（$p > 0$）的焦点 $ F $ 作斜率分别为 ${k_1},{k_2}$ 的两条不同的直线 ${l_1},{l_2}$，且 ${k_1} + {k_2} = 2$，${l_1}$ 与 $E$ 相交于点 $ A , B $，${l_2}$ 与 $E$ 相交于点 $ C ,D$．以 $ AB,CD $ 为直径的圆 $ M , N $（$ M,N $ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $ l$．
1、若 ${k_1} > 0$，${k_2} > 0$，证明；$\overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} < 2{p^2}$．
2、若点 $ M $ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt 5 }{5}$，求抛物线 $ E $ 的方程．
设 ${S_n}$ 为数列 $ \left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和，${S_n} = {\left( - 1\right)^n}{a_n} - \dfrac{1}{2^n},n \in {{\mathbb{N}}^ * } $，则 ${a_3} = $_______；${S_1} + {S_2} + \cdot \cdot \cdot + {S_{100}} = $_______．
在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，将从点 $ M $ 出发沿纵、横方向到达点 $ N $ 的任一路径称为 $ M $ 到 $ N $ 的一条 $ L $ 路径．如图所示的路径 $M{M_1}M{}_2{M_3}N$ 与路径 $M{N_1}N$ 都是 $ M $ 到 $ N $ 的“$ L $ 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $ xOy $ 内三点 $A\left(3,20\right)$，$B\left( - 10,0\right)$，$C\left(14,0\right)$ 处．现计划在 $ x $ 轴上方区域（包含 $ x $ 轴）内的某一点 $ P $ 处修建一个文化中心．
1、写出点 $ P $ 到居民区 $ A $ 的 $ L $ 路径长度最小值的表达式（不要求证明）．
2、若以原点 $ O $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆的内部是保护区，$ L $ 路径不能进入保护区，请确定点 $ P $ 的位置，使其到三个居民区的 $ L $ 路径长度之和最小．
