每日一题[2793]加权函数

设 $a > 0$,$b > 0$,已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{ax + b}{x + 1}$.

1、当 $a \ne b$ 时,讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性.

2、当 $x > 0$ 时,称 $f\left(x\right)$ 为 $a,b$ 关于 $x$ 的加权平均数.

① 判断 $f\left(1\right),f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right),f\left( {\dfrac{b}{a}} \right)$ 是否成等比数列,并证明 $f\left( {\dfrac{b}{a}} \right) \leqslant f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right)$;

② 若 $\dfrac{2ab}{a + b} \leqslant f\left(x\right) \leqslant \sqrt{ab}$,求 $x$ 的取值范围.

解析

1、本题考查函数的单调性,利用导数讨论单调性即可. ​$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left( - \infty , - 1\right) \cup \left( - 1, + \infty \right)$,\[f'\left(x\right) = \dfrac{a\left(x + 1\right) - \left(ax + b\right)}{{{{\left(x + 1\right)}^2}}} = \dfrac{a - b}{{{{\left(x + 1\right)}^2}}}.\]当 $a > b$ 时,$f'\left(x\right) > 0$,函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , - 1\right)$,$ \left( - 1, + \infty \right)$ 上单调递增; 当 $a < b$ 时,$f'\left(x\right) < 0$,函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , - 1\right) $,$ \left( - 1, + \infty \right)$ 上单调递减.

本题考查等比数列的判定以及解分式不等式,按函数 $f(x)$ 的定义代入计算即可.

① 计算得\[f\left(1\right) = \dfrac{a + b}{2} > 0,\quad f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right) = \sqrt {ab} > 0,\quad f\left( {\dfrac{b}{a}} \right) = \dfrac{2ab}{a + b} > 0,\quad \]故\[f\left(1\right)\cdot f\left( {\dfrac{b}{a}} \right)=f^2\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right),\]所以 $f\left(1\right),f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right),f\left( {\dfrac{b}{a}} \right)$ 成等比数列.又 $\dfrac{a+b}2\geqslant \sqrt {ab}$,于是该等比数列的公比 $q\in (0,1)$,因此 $f\left(\dfrac ba\right)\leqslant f\left(\sqrt{\dfrac ba}\right)$.

② 题中不等式为\[ \dfrac{2ab}{a+b}\leqslant \dfrac{ax+b}{x+1}\leqslant \sqrt{ab}\iff \dfrac{2t}{1+t}\leqslant \dfrac{x+t}{x+1}\leqslant \sqrt{t},\]即\[ \begin{cases} (t-1)x\leqslant t(t-1),\\ \left(\sqrt t-1\right)x\geqslant \sqrt t\left(\sqrt t-1\right),\end{cases} \]其中 $t=\dfrac ba$.因此 $x$ 的取值范围是\[\begin{cases} \left[\sqrt{\dfrac ba},\dfrac ba\right],&a<b,\\ (0,+\infty),&a=b,\\ \left[\dfrac ba,\sqrt{\dfrac ba}\right],&a>b.\end{cases}\]

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每日一题[2793]加权函数》有4条回应

  1. Avatar photo invisible说:

    题目错了,很明显第二问的第二小问左边是f(根号下b/a),右边是f(b/a),第二问的第一小问已经证出右边小于等于左边,所以第二问的第二小问想成立必须满足取等条件a=b,其他情况无解,所以答案应该是零到正无穷,两边都是开区间

  2. helenyang1121说:

    兰琦老师,另外您的QQ群是否接纳新人加入,多谢。

  3. helenyang1121说:

    兰琦老师,您好,发现您在bilibili的视频已停更多时,想了解下您后续是否还会更新。

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