每日一题[2792]格点多边形

在平面直角坐标系中,若点 $P\left(x,y\right)$ 的坐标 $x,y$ 均为整数,则称点 $P$ 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形,格点多边形的面积为 $S$,其内部的格点数记为 $N$,边界上的格点数记为 $L$.例如图中 $\triangle ABC$ 是格点三角形,对应的 $S = 1$,$N = 0$,$L = 4$.

① 图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S,N,L$ 分别是_______;

② 已知格点多边形的面积可表示为 $S = aN + bL + c$,其中 $a,b,c$ 为常数.若某格点多边形对应的 $N = 71$,$L = 18$,则 $S = $_______(用数值作答).

答案    ① $ 3$,$1$,$6$;② $ 79 $.

解析    本题考查对新定义的理解,按照定义求解即可.

① 由图可知,四边形 $DEFG$ 是直角梯形,高为 $\sqrt 2 $,下底为 $2\sqrt 2 $,上底为 $\sqrt 2 $,所以梯形面积\[S = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2\sqrt 2 } \right) \times \sqrt 2 }}{2} = 3,\]进而 $N = 1$,$L = 6$.

② 取相邻四个小正方形组成一个正方形,其面积 $S = 4$,$N = 1$,$L = 8$,结合 $\triangle ABC$ 和四边形 $DEFG$ 的情形,可列方程组\[\begin{cases} 4b + c = 1, \\ a + 6b + c = 3, \\ a + 8b + c = 4, \\ \end{cases}\iff \begin{cases} a = 1, \\ b = \dfrac{1}{2}, \\ c = - 1, \\ \end{cases},\] 故\[S(N,L)=N+\dfrac 12L-1\implies S(71,18) = 1 \times 71 + \dfrac{1}{2} \times 18 - 1 = 79.\]

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