证明：对任一自然数 $n \geqslant 4$，下列命题成立：每个有外接圆的四边形，恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形．
$\displaystyle\int_1^9\sqrt{(x-1)(9-x)}{ {\rm d}} x=$ [[nn]].
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\dfrac1{1+\cos^2t}{ {\rm d}} t=$_______.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{(2n-k)(2n+k)}=$_______．
已知实数 $x,y$ 满足 $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$，则 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值为 _______．
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=-1$，$a_1=1$，$a_n=-6a_{n-1}-9a_{n-2}-8$，$n\geqslant 2$，则 $a_9=$ _______．
在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______．
$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______．
设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数，求证：\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]
