每日一题[2463]倾斜的椭圆

已知实数 $x,y$ 满足 $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$,则 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值为 _______.

答案    $\dfrac 38$.

解析    令 $m=x+\dfrac 12$,$n=y+\dfrac 12$,则条件变为\[5m^2+6mn+5n^2=1,\]且 $f(x,y)=x+y-x^2-y^2$ 的最大值 $I$ 为 $g(m,n)=\dfrac 12-(m^2+n^2)$ 的最大值.而\[1-5(m^2+n^2)=6mn\leqslant 3(m^2+n^2)\implies m^2+n^2\geqslant \dfrac 18,\]等号当 $m=n=\dfrac14$ 时取得,因此 $I=\boxed{\dfrac 38}$.

备注    $5x^2+6xy+5y^2-8x-8y=-3$ 是中心为 $\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 的椭圆.

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