每日一题[2461]同余方程组

在模 $2520$ 的同余系里,满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______.

答案    $16$.

解析    根据题意,有 $2520=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$,且 $2520\mid a^2-a$,即\[5\cdot 7\cdot 8\cdot 9\mid a(a-1),\]因此 $a$ 模 $5,7,8,9$ 的余数均为 $0$ 或 $1$.考虑同余方程组\[\begin{cases} a\equiv r_1\pmod 5,\\ a\equiv r_2\pmod 7,\\ a\equiv r_3\pmod 8,\\ a\equiv r_4\pmod 9,\end{cases}\]其中 $r_i\in\{0,1\}$($i=1,2,3,4$),这样的方程组有 $2^4=16$ 个,且根据中国剩余定理,每个方程组的解在模 $2520$ 的同余系里是唯一的,因此所求 $a$ 的个数为 $\boxed{16}$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论