设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$，$n$ 是正整数．证明：对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\big\{S_n-[S_n]\big\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$．
已知 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=2}^{10}{\left(\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x \rfloor\right)}$，其中 $\lfloor r \rfloor$ 为不大于 $r$ 的最大整数．则当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x)$ 的能取到的不同值的个数为（ ）
A．$32$
B．$36$
C．$45$
D．$46$
E．无穷多个
如图所示，已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$，过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个交点，若抛物线 $C$ 上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称，记 $M N$ 的中点为 $T$．
1、求点 $T$ 的轨迹方程．
2、求 $\triangle A M T$ 的面积的最大值．
四棱锥 $A-B C D E$ 中，$\triangle A B C$ 为正三角形，$C D \parallel B E$，$B C=C D=\dfrac{1}{2} B E=1$，$D E=\sqrt{3}$，$A D=\dfrac{3}{2}$．
1、求四棱锥 $A-B C D E$ 的体积．
2、求 $B E$ 与面 $A D E$ 所成角的正弦值．
已知 $P(a, b)$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 上的任意一点，过原点 $O$ 作圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\dfrac{6}{5}$（$a^{2} \neq \dfrac{6}{5}$）的两条切线，设这两条切线与椭圆交于 $M, N$ 两点，则 $O M, O N$ 的斜率之积为（ ）
A．$-\dfrac{1}{2}$
B．$-\dfrac{2}{3}$
C．$-\dfrac{3}{4}$
D．$-\dfrac{5}{6}$
在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=4$，$A C=3$，$\angle B A C=120^{\circ}$，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $2 B E=E C$，则 $A E$ 的长度为（ ）
A．$\dfrac{5}{2}$
B．$\dfrac{7}{3}$
C．$\dfrac{2 \sqrt{7}}{3}$
D．$2 \sqrt{2}$
已知函数 $f(x)=\ln x-a x+\dfrac{a}{x}$（$a>0$）．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时：
① 解关于 $x$ 的不等式 $f(x)>0$；
② 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：\[\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)<\mathrm{e}^{\frac{3}{4}}.\]
2、若函数 $g(x)=f(x)-\ln 2+\dfrac{3 a}{x}$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动圆 $P$ 与圆 $O_{1}: x^{2}-2 x+y^{2}=0$ 内切，且与直线 $x=-2$ 相切，设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．
1、求曲线 $C$ 的方程．
2、曲线 $C$ 上存在一点 $S\left(4, y_{0}\right)$（$y_{0}>0$），不经过点 $S$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $A S, B S$ 的斜率之和为 $2$，证明：直线 $l$ 过定点．
