每日一题[2568]尾数稠密

设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$,$n$ 是正整数.证明:对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$,数列 $\big\{S_n-[S_n]\big\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$,这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.

解析    想象一个周长为 $1$ 的圆形道路,从原点 $O$ 出发第 $n$ 步逆时针移动 $\dfrac 1n$ 到达 $P_n$ 位置,则 $S_n$ 为运动的路程,而 $\{S_n-[S_n]\}$ 为 $O$ 到 $P_n$ 的“位移”.先给出两个引理,第一个引理表明此运动会转无数圈,第二个引理表明在若干步后每步的步长会小于任意指定的正实数.我们的证明思路是从第 $k$ 圈开始,每走一圈至少会路过区间 $(a,b)$ 一次,而运动会进行无数圈,因此会路过区间 $(a,b)$ 无数次,命题得证.

引理一    按 $\left[S_n\right]$ 的取值将 $\{S_n\}$ 划分为一系列子列,其中第 $k$ 个子列 $T_k:S_{f(k)},\cdots,S_{f(k+1)-1}$ 满足 $\left[S_n\right]=k$($n=f(k),\cdots,f(k+1)-1$),即\[\begin{split} T_1&:S_1,S_2,S_3,\\ T_2&:S_4,S_5,\cdots,S_{10},\\ T_3&:S_{11},\cdots,\end{split}\]则 $\{S_n\}$ 的子列 $\{T_k\}$ 有无数个.

引理一的证明    对任意的正整数 $n$,有\[\begin{split}S_{2^n}&=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\\&=1+\dfrac12+\left(\dfrac{1}{2^1+1}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\\&>1+\dfrac12+\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2^n}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\\&=1+\dfrac12+\dfrac12+\cdots+\dfrac12\\&>\dfrac12n,\end{split}\]所以当 $n$ 充分大时,$S_n$ 可以大于任何一个正整数,命题得证.

引理二    对于任意 $0\leqslant a<b\leqslant 1$,都存在正整数 $K$,使得当 $k\geqslant K$ 时,子列 $T_k$ 中至少有一项 $S_m$ 在区间 $ (k+a,k+b)$ 上.

引理二的证明    注意到第 $k$ 个子列 $T_k:S_{f(k)},\cdots,S_{f(k+1)-1}$ 满足 $\left[S_n\right]=k$($n=f(k),\cdots,f(k+1)-1$),于是 $T_k$ 中的每一项都落在区间 $[k,k+1)$ 上,而 $T_k$ 中相邻两项的最大间隔为 $\dfrac{1}{f(k)}$,因此当 $f(k)\geqslant\dfrac{1}{b-a}$ 时,$T_k$ 中至少有一项落在区间 $(k+a,k+b)$ 上.考虑到 $f(k)$ 是递增正整数数列,因此必然存在符合条件的 $K$,命题得证.

回到问题    根据引理一、二对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$,数列 $\{S_n\}$ 的子列 $T_k$($k=1,2,\cdots$)中,从第 $K$ 个子列开始,每个子列中至少存在一项,其小数部分落在区间 $(a,b)$ 内.数列 $\{S_n\}$ 从第 $K$ 个子列开始有无数个子列,因此原命题得证.

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每日一题[2568]尾数稠密》有3条回应

  1. ymxddl123说:

    老师请问这道题来源于哪里

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