已知函数 $f(x)=a \ln x-x^2$（$ a \in \mathbb R$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
3、设 $a>0$，若 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 上的两个不同点，满足 $0<x_1<x_2$，且 $x_3 \in\left(x_1, x_2\right)$，使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_3$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，求证：$x_3<\dfrac{x_1+x_2}{2}$．
已知函数 $f(x)=(a+2) \ln x+\dfrac{2 a}{x}-x$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若函数 $h(x)=f(x)-2 \ln x$ 有两个不同的极值点 $x_1, x_2\left(x_1<x_2\right)$，求证：\[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)-x_1 x_2>8(5 \ln 2-2).\]
3、设 $a=-1$，函数 $f(x)+\dfrac{2}{x}+x$ 的反函数为 $k(x)$，令\[k_i(x)=k\left(\left(\frac{i}{n}\right)^x\right),~ i=1,2, \cdots, n-1, \]其中 $n \in \mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$．若 $x \in[-1,1]$ 时，对任意的 $n \in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$，有\[k_1(x) k_2(x) \cdots k_{n-1}(x) \geqslant \frac{1}{{\rm e}^m}\]恒成立，求 $m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=a x^2-2 x+1$，$ g(x)=\ln x$．
1、当 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线与 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线相互平行且距离为 $\sqrt{2}$ 时，求 $a, x_0$ 的值．
2、设 $F(x)=f(x)+g(x)$，当 $F(x)$ 有两个不同极值点 $x_1, x_2$ 时，求证：$F\left(x_1\right)+F\left(x_2\right)<-1$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} {\rm e}^{2 x}-a {\rm e}^x+a x$ 有两个极值点．
1、求 $a$ 的取值范围．
2、设 $f(x)$ 的两个极值点分别为 $x_1, x_2$，若不等式 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\lambda\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}\right)$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2} a x^2+(a-1) x$（$a \in \mathbb R$，且 $a \neq 0$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调性．
2、记函数 $y=F(x)$ 的图象为曲线 $C$，设点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是曲线 $C$ 上的不同两点．如果在曲线 $C$ 上存在点 $M\left(x_0, y_0\right)$，使得
① $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$；
② 曲线 $C$ 在点 $M$ 处的切线平行于直线 $A B$， 则称函数 $F(x)$ 存在“中值相依切线”．
试问：函数 $f(x)$ 是否存在中值相依切线，请说明理由．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}-x+2 a \ln x$（其中 $a$ 是实数）．
1、若 $a=\dfrac{1}{2}$，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
3、设 $g(x)=\ln x-b x-c x^2$，若函数 $f(x)$ 的两个极值点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$）恰为函数 $g(x)$ 的两个零点，且 $y=\left(x_1-x_2\right) g^{\prime}\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)$ 的范围是 $\left[\ln 2-\dfrac{2}{3},+\infty\right)$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\ln x$，$ g(x)={\rm e}^x$．
1、求函数 $y=f(x)-x$ 的单调区间．
2、求证：函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在公共定义域内，$g(x)-f(x)>2$ 恒成立．
3、若存在两个不相等的实数 $x_1, x_2$，满足 $\dfrac{f\left(x_1\right)}{x_1}=\dfrac{f\left(x_2\right)}{x_2}=a$，求证：$\dfrac{x_1 x_2}{{\rm e}^2}>1$．
已知函数 $f(x)=\ln x+x+\dfrac{a}{x}$（$a \in \mathbb R$）．
1、若函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围．
2、若函数 $g(x)=x f(x)-(a+1) x^2-x$ 有两个不同的极值点，记作 $x_1, x_2$，且 $x_1<x_2$，证明 $x_1 x_2^2>{\rm e}^3$．
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a}{2} x^2+x+2$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若函数 $g(x)=f(x)+b x-2$（$a \neq 0$）的两个零点为 $x_1, x_2$（$x_1 \neq x_2$），证明：$g^{\prime}\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<0$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x\left(x \ln x+\dfrac{2}{\rm e}\right)$．
1、求函数 $h(x)=f(x)-{\rm e}^x\left(1+\dfrac{2}{\rm e}\right)$ 的单调区间．
2、证明：$f(x)-x>0$．
