每日一题[2567]综合推断

对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$:$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个,是否存在整数 $r,s,t$,使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立($[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数).

答案    存在 $(r,s,t)=(2,-1,1)$ 满足题意.

解析    根据题意,有\[a_n=2k-1,\quad (k-1)^2<n\leqslant k^2,k\in\mathbb N^{\ast}.\]注意以下事实:

事实一    当 $n$ 从 $k^2$ 变化到 $k^2+1$ 时,$a_n$ 的值发生变化,因此 $s=-1$.

事实二    当 $a_n$ 的值发生变化时,每次增量为 $2$,因此 $r=2$.

事实三    $a_n$ 的初值为 $1$,因此 $t=1$.

综上所述,$a_n=2\cdot \left[\sqrt{n-1}\right]+1$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

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