已知 $a,b,m,n$ 均为正数，且 $a + b = 1$，$mn = 2$，则 $\left( {am + bn} \right)\left( {bm + an} \right)$ 的最小值为_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为 $ 2 $，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、$A,B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6 }{4}$ 的任意两点，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $P$，设 $\overrightarrow {OP} = t\overrightarrow {OE} $，求实数 $t$ 的值．
已知函数 $f\left(x\right) = a{x^2} + bx - \ln x$（$a,b \in {\mathbb{R}}$）．
1、设 $a \geqslant 0$，求 $f\left(x\right)$ 的单调区间．
2、设 $a > 0$，且对任意 $x > 0$，$f\left(x\right) \geqslant f\left(1\right)$，试比较 $\ln a$ 与 $ - 2b$ 的大小．
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别是 ${F_1},{F_2}$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，过 ${F_1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P{F_1},P{F_2}$，设 $\angle {F_1}P{F_2}$ 的角平分线 $PM$ 交 $C$ 的长轴于点 $M\left( {m,0} \right)$，求 $m$ 的取值范围．
3、在 $(2)$ 的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点．设直线 $P{F_1},P{F_2}$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2}$，若 $k \ne 0$，试证明 $\dfrac{1}{{k{k_1}}} + \dfrac{1}{{k{k_2}}}$ 为定值，并求出这个定值．
设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\mathrm{e}}^{2x}}}} + c$（${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots $ 是自然对数的底数，$c \in {\mathbb{R}}$）．
1、求 $f\left( x \right)$ 的单调区间、最大值．
2、讨论关于 $x$ 的方程 $\left| {\ln x} \right| = f\left( x \right)$ 的实数解的个数．
定义"正对数"：${\ln ^ + }x = {\begin{cases} 0,&0 < x < 1, \\ \ln x,&x \geqslant 1, \\ \end{cases}}$ 现有四个命题：
① 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {a^b} \right) = b{\ln ^ + }a$；
② 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {ab} \right) = {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b$；
③ 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b$；
④ 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {a + b} \right) \leqslant {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2$．
其中真命题有_______（写出所有真命题的编号）．
已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F\left(0,c\right)$（$c > 0$）到直线 $l:x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt 2 }{2}$．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$ 为切点．
1、求抛物线 $C$ 的方程．
2、当点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程．
3、当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值．
已知直线 $l$ 过点 $A(2,3,1)$，向量 $\boldsymbol n=(1,0,-1)$ 所在直线与 $l$ 垂直，则点 $P(4,3,2)$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为_______．
设 $m=\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac2{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac 3{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac 9{1\cdot 2\cdots 9\cdot 10}$，则 $m$ 的小数表示中小数点后连续的数字 $9$ 的个数为（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$6$
D．以上答案都不对
设整数 $n \geqslant 4$，集合 $X = \left\{ {1,2,3, \cdots ,n} \right\}$．令集合\[S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in X,~\text{且三条件}~x < y < z,y < z < x,z < x < y~\text{恰有一个成立} \right\},\]若 $\left( {x,y,z} \right)$ 和 $\left( {z,w,x} \right)$ 都在 $S$ 中，则下列选项正确的是（ ）
A．$\left( {y,z,w} \right) \in S$，$\left( {x,y,w} \right) \notin S$
B．$\left( {y,z,w} \right) \in S$，$\left( {x,y,w} \right) \in S$
C．$\left( {y,z,w} \right) \notin S$，$\left( {x,y,w} \right) \in S$
D．$\left( {y,z,w} \right) \notin S$，$\left( {x,y,w} \right) \notin S$
