1、证明：当 $x \in \left[0,1\right] $ 时，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x$．
2、若不等式 $ax + {x^2} + \dfrac{x^3}{2} + 2\left(x + 2\right)\cos x \leqslant 4$ 对 $x \in \left[0,1\right] $ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right){{\mathrm{e}}^{ - 2x}}$，$g\left( x \right) = ax + \dfrac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，
1、当 $x \in \left[ {0,1} \right]$ 时， 求证：$1 - x \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$．
2、若 $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
如图，抛物线 ${C_1}:{x^2} = 4y$，${C_2}:{x^2} = - 2py$（$ {p > 0} $）．点 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在抛物线 ${C_2}$ 上，过 $ M $ 作 $ {C_1} $ 的切线，切点为 $ A,B $（$ M $ 为原点 $ O $ 时，$ A,B $ 重合于 $ O $）．当 $ {x_0} = 1 - \sqrt 2 $ 时，切线 $ MA $ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{2}$．
1、求 $ p$ 的值．
2、当 $ M $ 在 $ {C_2} $ 上运动时，求线段 $ AB $ 中点 $ N $ 的轨迹方程（$ A,B $ 重合于 $ O $ 时，中点为 $ O $）．
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 $ 5 $ 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 $ 7 $，样本方差为 $ 4 $，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_______．
设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^\circ $ 的直线 ${A_1}{B_1}$ 和 ${A_2}{B_2}$，使 $ \left|{A_1}{B_1} \right| = \left|{A_2}{B_2} \right|$，其中 ${A_1},{B_1}$ 和 ${A_2},{B_2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right]$
B．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right)$
C．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$
D．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$
对正整数 $n$，记 ${I_n} = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\} $，${P_n} = \left\{\dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_n},k \in {I_n} \right\}$．
1、求集合 ${P_7}$ 中元素的个数．
2、若 ${P_n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为"稀疏集"．求 $n$ 的最大值，使 ${P_n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并．
如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点，$\left| {AA'} \right| = 4$．
1、求该椭圆的标准方程．
2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程．
从 $3$ 名骨科、$4$ 名脑外科和 $5$ 名内科医生中选派 $5$ 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 $1$ 人的选派方法种数是_______．（用数字作答）
已知点 $A\left(1, - 1\right),B\left(3,0\right),C\left(2,1\right)$．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC}$（$1 \leqslant \lambda \leqslant 2$，$0 \leqslant \mu \leqslant 1$）的点 $P$ 组成，则 $D$ 的面积为______．
已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 ${A_n}$，第 $n$ 项之后各项 ${a_{n + 1}}, {a_{n + 2}} , \cdots $ 的最小值记为 ${B_n}$，${d_n} = {A_n} - {B_n}$．
1、若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3,\cdots$，是一个周期为 $ 4 $ 的数列（即对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，${a_{n + 4}} = {a_n}$），写出 $d_1,d_2,d_3,d_4$ 的值．
2、设 $d$ 是非负整数，证明：${d_n} = - d$（$ {n = 1,2,3 \cdots } $）的充分必要条件为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
3、证明：若 ${a_1} = 2$，${d_n} = 1$（$ {n = 1,2,3, \cdots } $），则 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的项只能是 $ 1 $ 或者 $ 2 $，且有无穷多项为 $ 1 $．
