设 $M$ 为正整数，区间 $I_k=[a_k,a_k+1]$（其中 $a_k\in\mathbb R$，$k=1,2,\cdots,M$）同时满足下列两个条件：
① 对任意 $x\in [0,100]$，存在 $k$ 使得 $x\in I_k$；
② 对任意 $k\in\{1,2,\cdots,M\}$，存在 $x\in[0,100]$，使得 $x\notin \bigcup\limits_{i\ne k}I_i$，其中 $\bigcup\limits_{i\ne k}I_i$ 表示除 $I_k$ 外的 $M-1$ 个集合的并集．
1、若 $M=100$，直接写出下列两个数列是否满足条件：
① $a_k=k-1$（$k=1,2,\cdots,100$）；_______．
② $a_k=\dfrac k2-1$（$k=1,2,\cdots,100$）；_______．
2、求 $M$ 的最小值．
3、判断 $M$ 是否存在最大值，若存在，求 $M$ 的最大值；若不存在，请说明理由．
已知数集 $A=\left\{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\right\}$（$1=a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n \geqslant 2$）具有性质 $P$： 对任意的 $k$（$2 \leqslant k \leqslant n$），存在 $i, j$（$1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$），使得 $a_k=a_i+a_j$ 成立．
1、分别判断数集 $\{1,3,5\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．
2、已知 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），求证：$2 a_n-1 \leqslant S_n$．
3、若 $a_n=36$，求数集 $A$ 中所有元素的和的最小值．
已知 $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$，$x_1+x_2+x_3\in [0,1]$且$x_1+x_2+x_3=1$，求证：\[\dfrac52\leqslant f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\leqslant \dfrac{27}{10}.\]
若 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=0$ 的两个实数根，且 $|x_1|+|x_2|=2|k|$（$k$ 是整数），则称方程 $x^2+bx+c=0$ 为偶系二次方程．如方程 $x^2-6x-27=0$，$x^2-2x-8=0$，$x^2+3x-\dfrac{27}4=0$，$x^2+6x-27=0$，$x^2+4x+4=0$，都是偶系二次方程．
1、判断方程 $x^2+x-12=0$ 是不是偶系二次方程，并说明理由．
2、已知 $b$ 是整数，是否存在实数 $c$，使得关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=0$ 是偶系二次方程，并说明理由．
设集合 $S \subseteq \mathbb N^{\ast}$，且 $S$ 中至少有两个元素，若集合 $T$ 满足以下三个条件：
① $T \subseteq \mathbb N^{\ast}$，且 $T$ 中至少有两个元素；
② 对于任意 $x, y \in S$，当 $y \neq x$，都有 $x y \in T$；
③ 对于任意 $x, y \in T$，若 $y>x$，则 $\dfrac{y}{x} \in S$；
则称集合 $T$ 为集合 $S$ 的“耦合集”．
1、若集合 $S_1=\{1,2,4\}$，求集合 $S_1$ 的耦合集 $T_1$．
2、若集合 $S_2$ 存在耦合集 $T_2$，集合 $S_2=\left\{p_1, p_2, p_3, p_4\right\}$，且 $p_4>p_3>p_2>p_1$，求证：对于任意 $1 \leqslant i<j \leqslant 4$，有 $\dfrac{p_j}{p_i} \in S_2$．
3、设集合 $S=\left\{p_1, p_2, p_3, p_4\right\}$，且 $p_4>p_3>p_2>p_1 \geqslant 2$，求集合 $S$ 的耦合集 $T$ 中的元素的个数．
已知函数 $f\left(x\right) = x - a{{\mathrm e}^x}$，$a \in \mathbb R$．
1、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线的方程．
2、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．
3、设函数 $g\left(x\right) = {x^3}$，请写出曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $y = g\left(x\right)$ 最多有几个交点．
已知动点 $M\left(x,y\right)$ 到直线 $l:x = 4$ 的距离是它到点 $N\left(1,0\right)$ 的距离的 $ 2 $ 倍．
1、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程．
2、过点 $P\left(0,3\right)$ 的直线 $m$ 与轨迹 $C$ 交于 $A,B$ 两点，若 $A$ 是 $PB$ 的中点，求直线 $m$ 的斜率．
已知函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x}$，$x \in {\mathbb{R}}$．
1、求 $f\left(x\right)$ 的反函数的图象上点 $\left(1,0\right)$ 处的切线方程．
2、证明：曲线 $y = f\left(x\right)$ 与曲线 $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1$ 有唯一公共点．
3、设 $a < b$，比较 $f\left( {\dfrac{a + b}{2}} \right)$ 与 $\dfrac{f\left(b\right) - f\left(a\right)}{b - a}$ 的大小，并说明理由．
已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x}$，$x \in {\mathbb{R}}$．
1、若直线 $y = kx + 1$ 与 $f\left( x \right)$ 的反函数的图象相切，求实数 $k$ 的值．
2、设 $x > 0$，讨论曲线 $y = f\left( x \right)$ 与曲线 $y = m{x^2}$（$m > 0$）公共点的个数．
3、设 $a < b$，比较 $\dfrac{f\left( a \right) + f\left( b \right)}{2}$ 与 $\dfrac{f\left( b \right) - f\left( a \right)}{b - a}$ 的大小，并说明理由．
已知动圆过定点 $A\left( {4,0} \right)$，且在 $y$ 轴上截得的弦 $MN$ 的长为 $8$．
1、求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程．
2、已知点 $B\left( { - 1,0} \right)$，设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P,Q$，若 $x$ 轴是 $\angle PBQ$ 的角平分线，证明直线 $l$ 过定点．
