每日一题[3010]配方

已知函数 $f(x)=4x^4-6tx^3+(2t^2+6)x^2-3tx+1 $($x>0$),若 $f(x)$ 的最小值为 $0$,则 $t=$ (        )

A.$\sqrt{2}$

B.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

C.$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$

D.$2\sqrt{2}$

答案    D.

解析    如果 $t\leqslant 0$,那么当 $x>0$ 时,$f(x)>0$,所以 $t>0$.$f(x)$ 的最小值为 $0$,等价于 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立,且可以取得等号,注意到 \[\begin{split} \dfrac{f(x)}{2x^2} &=2x^2-3tx+(t^2+3)-\frac{3t}{2x}+\frac{1}{2x^2}\\ &=\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}\right)^2-\frac{3t}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}\right)+t^2+1\\ &=\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}-\frac{3t}{2\sqrt{2}}\right)^2+1-\frac{t^2}{8}, \end{split}\]因此由函数 $f(x)$ 的最小值为 $0$,可得 $t=\sqrt 2$,此时关于 $x$ 的方程\[\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt 2x}-3=0\]有解,符合题意,因此 $t=2\sqrt 2$.

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