2026年3月山东济南市一模数学试卷#18
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的实轴长为 $4$，且经过点 $P\left(3,\dfrac 5 2\right)$．
1、求 $C$ 的方程；
2、记 $C$ 的右顶点为 $A$，点 $R$ 在线段 $AP$（不含端点）上运动，垂直于 $x$ 轴的直线 $RM$ 交 $C$ 于点 $M\left(x_1,y_1\right)(M$ 在第一象限），点 $S$ 满足 $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{RS}$，设直线 $AS$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N\left(x_2,y_2\right)$．
① 用 $x_1,y_1$ 表示直线 $AS$ 的斜率 $k_0$；
② 证明：直线 $MN$ 过定点．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} 2a=4,\\0 \frac 9{a^2}-\frac{25}{4b^2}=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=\sqrt 5,\end{cases}\]于是 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$．
2、① 根据题意，有 $A(2,0),P\left(3,\frac 52\right)$，于是 $AP:y=\frac 52x-5$，于是 $R\left(x_1,\frac 52x_1-5\right)$，从而 $S(x_1,5x_1-y_1-10)$，因此直线 $AS$ 的斜率\[k_0=\dfrac{5x_1-y_1-10}{x_1-2}=5-\frac{y_1}{x_1-2}.\]
② 根据 ① 的结论，有直线 $AM,AN$ 的斜率之和为 $5$．平移坐标系使 $A$ 为原点，设在新坐标系下 $M'N':mx'+ny'=1$，则双曲线的方程为\[\dfrac{(x'+2)^2}4-\dfrac{y'^2}5=1,\]化齐次联立可得\[\dfrac{x'^2}4+x'(mx'+ny')-\dfrac{y'^2}5=0,\]于是由直线 $AM,AN$ 的斜率之和为 $5$ 可得\[-\dfrac{n}{-\frac 15}=5\iff n=1,\]于是直线 $M'N'$ 过定点 $(0,1)$，回到原坐标系，直线 $MN$ 过定点 $(2,1)$．