2026年3月山东济南市一模数学试卷#14
已知正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2$，点 $A_1,B_1,C_1,D_1$ 均在某圆锥的侧面上，点 $A,B,C,D$ 均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 _____．
答案 $9\pi$．
解析 考虑轴截面 $AA_1C_1C$，设圆锥的高为 $h$，底面半径为 $r$，体积为 $V$，则\[\dfrac h2=\dfrac{r}{r-\sqrt 2}\implies V=\frac 13\pi r^2h=\dfrac{2\pi}3\cdot \dfrac{r^3}{r-\sqrt 2},\]设 $f(x)=\dfrac{x^3}{x-\sqrt 2}$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2(2x-3\sqrt 2)}{(x-\sqrt 2)^2},\]因此当 $x=\frac{3\sqrt 2}2$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $f\left(\frac{3\sqrt 2}2\right)=\frac{27}2$，进而所求体积的最小值为 $9\pi$．