2026年3月山东济南市一模数学试卷#19
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，导函数 $f^{\prime}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$．将 $f(x)$ 所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 $\left\{x_n\right\}, n \in \mathbb{N}^{\ast}$．
1、若 $x \in\left(x_n, x_{n+1}\right)$，比较 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 与 $\left|f^{\prime}\left(2 x_{n+1}-x\right)\right|$ 的大小；
2、求证：数列 $\left\{f\left(x_{2 n-1}\right)\right\}$ 为递减数列，数列 $\left\{f\left(x_{2 n}\right)\right\}$ 为递增数列；
3、若 $k$ 为正整数，且对任意的 $a, b \in[\pi,+\infty)$，都有 $\left|f\left(a\right)-f\left(b\right)\right|<k$，求 $k$ 的最小值．
解析
1、根据题意，有 $x_n=n\pi$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），于是\[ \dfrac{\left|f^{\prime}(x)\right|}{\left|f^{\prime}\left(2 x_{n+1}-x\right)\right|}=\left|\dfrac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin(2(n+1)\pi-x)}{2x_{n+1}-x}}\right|=\left|\dfrac{2x_{n+1}-x}{x}\right|>1,\]因此 $|f'(x)|<|f'(2x_{n+1}-x)|$．
2、考虑到\[\begin{split} f(x_{2n+1})-f(x_{2n-1})&=\int_{(2n-1)\pi}^{(2n+1)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x\\ &=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x+\int_{2n\pi}^{(2n-1)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x\\ &=\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin (2n\pi+x)}{2n\pi+x}-\dfrac{\sin(2n\pi -x)}{2n\pi-x}\right){ {\rm d}} x\\ &=\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin x}{2n\pi+x}-\dfrac{\sin x}{2n\pi-x}\right){ {\rm d}} x\\ &<0,\end{split}\]类似的，有\[\begin{split} f(x_{2n+2})-f(x_{2n})&=\int_{2n\pi}^{(2n+2)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x\\ &=\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x+\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x\\ &=\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin ((2n+1)\pi+x)}{(2n+1)\pi+x}-\dfrac{\sin((2n+1)\pi -x)}{(2n+1)\pi-x}\right){ {\rm d}} x\\ &=\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin x}{(2n+1)\pi-x}-\dfrac{\sin x}{(2n+1)\pi+x}\right){ {\rm d}} x\\ &>0,\end{split}\]命题得证．
3、根据题意，$f(x)$ 在 $x\in [\pi ,+\infty)$ 上的最大值为 $f(\pi)$，最小值为 $f(2\pi)$，于是当 $a,b\in[\pi,+\infty)$ 时，有\[ |f(a)-f(b)|\leqslant |f(\pi)-f(2\pi)|=-\int_{\pi}^{2\pi}\dfrac{\sin x}{x}{ {\rm d}} x=\int_0^{\pi}\dfrac{\sin x}{x+\pi}{ {\rm d}} x,\]而\[0<\int_0^{\pi}\dfrac{\sin x}{x+\pi}{ {\rm d}} x<\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\pi}{ {\rm d}} x<1,\]因此正整数 $k$ 的最小值为 $1$．