2026年3月山东济南市一模数学试卷#11
现进行如下试验：从 $1,2,3,\cdots,10$ 中任选一个数，记为 $a_1$，若 $a_1=1$，则试验结束；否则再从 $1,2,\cdots,a_1-1$ 中任选一个数，记为 $a_2$，若 $a_2=1$，则试验结束；否则再从 $1,2,\cdots,a_2-1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中 $1$ 为止．记事件 $A_i$ 为试验过程中数字 $i$ 被选到，$p_i$ 表示事件 $A_i$ 发生的概率（$i=1,2,3,\cdots,10$），则（ ）
A．$p_9=\dfrac 1{10}$
B．$p_8=\dfrac 1{10}+\dfrac 1 9 p_{10}+\dfrac 1 8 p_9$
C．$P\left(A_8\mid A_9\right)=P\left(A_8\mid A_{10}\right)$
D．$P\left(A_i A_j\right)=p_i\cdot p_j$（$i,j\in\{1,2,\cdots,10\}$ 且 $i\neq j$）
答案 BCD．
解析 根据题意，数列 $\{a_n\}$ 表示将 $1,2,\cdots,10$ 分为若干组，每组取第一个数，然后倒序排列得到的数列（类似于切牌）．考虑 $p_i$，则编号比 $i$ 大的牌对切出牌 $i$ 没有影响，因此切出牌 $i$ 的概率即在手牌为 $1,2,\cdots,i$ 时切出牌 $i$ 的概率，即 $p_i=\frac 1i$，因此选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确，
备注 也可以递归考虑，有 $p_{10}=\frac{1}{10}$，当 $i<10$ 时，按切出牌 $i$ 的上一次切出的牌为 $k$ 分类相加，可得\[p_i=\frac{1}{10}+\sum_{k=i+1}^{10}\frac {p_k}{k-1},\]进而归纳证明得到 $p_i=\frac{1}{i}$．