2026年3月山东济南市一模数学试卷#8
若存在 $a>0$，对任意的 $x\in(0,+\infty)$，都有 $x\ln x+2 a\geqslant a x+b$，则 $b$ 的最大值为（ ）
A．$-\dfrac 1{\mathrm e}$
B．$\dfrac{\mathrm e}2$
C．$2\ln 2$
D．$1+\ln 2$
答案 C．
解析 取 $x=2$，可得 $b\leqslant 2\ln2$，当 $b=2\ln 2$ 时，题中不等式即\[x\ln x\geqslant a(x-2)+2\ln 2,\]函数 $y=x\ln x$ 是下凸函数，且在 $x=2$ 处的切线方程为 $y=(1+\ln 2)(x-2)+2\ln 2$，因此存在 $a=1+\ln 2$ 符合题意，因此 $b$ 的最大值为 $2\ln 2$．