每日一题[1877]暴力计算

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt 2+1$，$AC=2\sqrt 3$，且 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$，则 $\tan A=$ _______．

答案    $-\sqrt 2-1$．

解析    设 $B$ 在 $AC$ 上的投影为 $H$，且 $\overline{AH}=m$，$\overline{HC}=n$，$HB=h$，则

$$\begin{cases} m+n=2\sqrt 3,\\ (m+n)h=2(\sqrt 2+1),\\ \tan A=\dfrac hm,\\ \tan B=\dfrac{\dfrac mh+\dfrac nh}{1-\dfrac{mn}{h^2}}=\dfrac{(m+n)h}{h^2-mn},\end{cases}$$ 于是由 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$ 可得 $$\dfrac{4m}{h}+\dfrac{3(h^2-mn)}{(m+n)h}=1\iff 4m(m+n)+3h^2-3mn=(m+n)h,$$ 也即 $$8\sqrt 3m+3\cdot \left(\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 3}\right)^2-3m\left(2\sqrt 3-m\right)=2\left(\sqrt 2+1\right),$$ 解得 $m=-\dfrac{1}{\sqrt 3}$，$n=\dfrac{7}{\sqrt 3}$，$h=\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 3}$，因此 $$\tan A=\dfrac hm=-\sqrt 2-1.$$