2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #17
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概案为 $p$（$0<p<1$），输的概率为 $1-p$，每局比赛的结果是独立的．
1、当 $p=\dfrac 2 3$ 时，求甲最终获胜的概率；
2、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案． 方案一：最终获胜者得 $3$ 分，失败者得 $-2$ 分； 方案二：最终获胜者得 $1$ 分，失败者得 $0$ 分； 请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
解析
1、甲获胜的概率为\[\left(p+2p(1-p)\right)\cdot p=3p^2-2p^3=\dfrac{20}{27}.\]
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，甲获胜的概率为 $p_0=3p^2-2p^3$，因此采用方案一以及方案二的数学期望分别为\[\begin{split} E_1&=3\cdot p_0+(-2)\cdot(1-p_0),\\ E_2&=1\cdot p_0+0\cdot(1-p_0),\end{split}\] 因此\[E_1-E_2=2(2p_0-1)=2(2p-1)\big(1+2p(1-p)\big),\]所以当 $p>\dfrac 12$ 时，方案一的数学期望更大；当 $p<\dfrac 12$ 时，方案二的数学期望更大．